托马斯微积分(11版)

从上一节可知，对于一个连续函数在区间[a, b]的平均值，我们有公式： $$ avg = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)dx $$ 那么，是否存在一个自变量$c \in [a

这一节从上节的黎曼求和表达式中，推导出定积分(definite integral)的定义。 在上一节中，黎曼求和表达式中，我们将每个子区间称为partition P，将其长度的最大值称为norm（$|

这一节介绍了求和的一些符号规定和计算法则，基本上高中生都应该知道的知识。 比如： $$ \sum_{k = 1}^n(a_k + b_k) = \sum_{k = 1}^n a_k + \sum_{k

这一节开始铺垫着引出积分的概念。从不规则图形面积，平均值的近似求解方式，引导出积分的思想。 首先以不规则图形的面积求解为例，引出有限加和的方式。现有一函数： $$ y = 1 - x^2 $$ 求在其

这一节开始进入积分的部分，首先引入一个词antiderivative，即求导的反运算。有很多地方将其翻译为不定积分，我更倾向于称为反导数/原函数。 先引入定义： A function F is an

这一节简单介绍了一种数值求根的方式，称为牛顿法。因为本节知识点较为孤立，不做深入学习。 假设有函数f(x)，取一点$x_n$作过这一点的切线，可以得到一个线性方程： $$ y = f(x_n) + f

这一节引入一个极其重要的求极限方法，洛必达法则。把求极限的内容放到这里，是因为洛必达法则的应用需要导数或微分作为前置知识。 在引入洛必达法则前，先引入柯西中值定理，它是证明洛必达法则需要的定理。先给出

这一节没有任何新的知识点，完全是结束目前为止导数，拉格朗日中值定理等在现实中的应用。它更有价值的是练习部分，因此直接跳到练习。 练习 TODO

这一节结束如何分析函数的凹凸性(concavity)。在开始之前，先吐槽下英语这个破碎的语言。 在这本教材里，使用单词Concavity来指函数的凹凸特性，但是这个词在英文里面似乎只有凹的意思，凸的英

这一节是拉格朗日中值定理应用的延续，主要分析函数的单调性，即递增或递减。首先给函数的递增和递减做一个数学定义，这里引用书中原文： Let f be a function defined on an i

在开始这一节前，先回顾前面的一些知识点，使得理解本节内容的时候更加系统性。 首先是可微，连续和存在极限三者的关系： differentiable $\to$ continuous $\to$ exis

这一节结束应用导数来求得函数极值(注意区分和极限的概念区别)的方法。 首先，函数极值(extrema)的定义，很容易理解： 有一定义域为D的函数f，函数在定义域内的c处有最大值(absolute/gl

这一节从曲线的线性化近似入手，初步切入微分的概念。 线性化(Linearization)指的是用曲线某点的切线来近似这点附近的值。根据点斜率方程，那么y=f(x)在x=a处切线为： $$y = f(a

这一节拓展了另一种求导的问题和方法。在某些情况下，我们知道某一个变量a相对应变量t的变化率，而对于与a变量关联的另一个变量b相对于相同变量t的变化率却不容易获得。那么在这种情况下，如果我们已经知道了两

隐微分法，或者说隐函数求导法。对于一类函数（有时候也不是函数，如果按照函数的定义）或方程，它不容易写成y = f(x)这样的形式，或者说这种形式不容易求导，那么怎么求导呢。 结合前面几节的各种求导方式

链式法则是一种求导的重要方法，需要掌握牢固。 链式法则是一种对组合函数求导的方式，但是通常对于一般的函数，也可以把它转换为组合函数的形式来进行求导。它的具体定义： If f(u) is differe

三角函数的导数可以从sin(x)和cos(x)两个函数出发，推导出其它的三角函数的导数。因此这两个函数的导数求法很重要。 $$\frac{d}{dx}sin(x) = cos(x)$$ 证明： $$

这一节主要介绍导数或微分在现实中的应用，或者反过来说，它们是如何从人们观察现实世界的经历中发展出来的。 首先准确的定义了前面学习到的瞬时速率或瞬时变化率(instantaneous rate of c

这一节介绍最常用的求微分定理，十分重要。证明就不证了，死记硬背也要记住这些定理。 Rule 1, Derivative of a constant function If f has constant

这一节继续上一章关于切线和斜率的讨论，我们知道对于函数f(x)，在$x_0$的切线的斜率可以由： $$m = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$