4.3 Monotonic Functions and The First Derivative Test

这一节是拉格朗日中值定理应用的延续，主要分析函数的单调性，即递增或递减。首先给函数的递增和递减做一个数学定义，这里引用书中原文：

Let f be a function defined on an interval I and let $x_1$ and $x_2$ be any two points in I.

1. If $f(x_1) < f(x_2)$ whenever $x_1 < x_2$, then f is said to be increasing on I.
2. If $f(x_2) < f(x_1)$ whenever $x_1 < x_2$, then f is said to be decreasing on I.

A function that is increasing or decreasing on I is called monotonic on I.

函数递增或者递减可以通过朴素的直觉就能理解，以上只是用数学语言精确的定义了它。

如果对导数的几何意义有所了解，已经能够猜到，函数切线的正切值如果大于零，那么函数的图像是呈递增趋势的，反之则递减。如何将观察到的现象，归纳为确定的定理呢？我们可以从拉格朗日中值定理出发，尝试证明直观的结论。

证明过程：
假设有一函数在[a, b]区间连续，在(a, b)区间可微。在区间中任意取两点$x_1 < x_2$，根据拉格朗日中值定理有

c为$x_1$，$x_2$区间的一点，因为$x_2 - x_1 > 0$，那么当$f'(c) > 0$时，$f(x_2) - f(x_1) > 0$，函数递增；当$f'(c) < 0$时，$f(x_2) - f(x_1) < 0$，函数递减。

证毕。

拉格朗日中值定理的推论三就是讲的如何通过一阶导数来判断函数的单调性。

引用英文：

Suppose that f is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b).

If f'(x) > 0 at each point $x \in (a, b)$, then f is increasing on [a, b].

If f'(x) < 0 at each point $x \in (a, b)$, then f is decreasing on [a, b].

这个推论不仅应用于分析函数的单调性，还可用于寻找函数的极值。对于某一点c，如果函数f的一阶导数在小于c时为正，大于c时为负，那么c是函数的一个局部最大值；如果一阶导数在小于c时为负，大于c时为正，那么c为函数的一个局部最小值；否则c不是局部极值。

这一点c，通常是一阶导数为零的点。

练习

1. $f'(x) = x(x - 1)$

a. critical points: x = 0, x = 1
b. x < 0, f'(x) > 0, 递增;
0 < x < 1, f'(x) < 0, 递减;
x > 1, f'(x) > 0, 递增
c. 函数在x = 0处有局部最大值，在x = 1处有局部最小值

2. $f'(x) = (x - 1)(x + 2)$

a. critical points: x = -2, x = 1
b. x < -2, f'(x) > 0, 递增
-2 < x < 1, f'(x) < 0, 递减
x > 1, f'(x) > 0, 递增
c. 函数在x = -2处有局部最大值，在x = 1处有局部最小值