4.6 Indeterminate Forms and L’Hôpital’s Rule

这一节引入一个极其重要的求极限方法，洛必达法则。把求极限的内容放到这里，是因为洛必达法则的应用需要导数或微分作为前置知识。

在引入洛必达法则前，先引入柯西中值定理，它是证明洛必达法则需要的定理。先给出它的定义：

Suppose functions f and g are continuous on [a, b] and differentiable throughout (a, b) and also suppose g'(x) $\neq$ 0 throughout (a, b). Then there exists a number c in (a, b) at which

首先，因为$g'(x) \neq 0$，那么根据罗尔定理可知，$g(b) \neq g(a)$，因为如果$g(b) = g(a)$，那么根据罗尔定理，就会存在至少一个c，使得g'(c) = 0，这和$g'(x) \neq 0$矛盾。所以$g'(x) \neq 0$是保证上面式子的右边分母不为零的关键。

证明：
首先将上式转化为

将c视为变量x，f(a), f(b), g(a), g(b)均为常数，上式转化为：

变成要证明：

令：

通过计算可知：

F(x)在a，b区间也是连续可导的，因此应用罗尔定理可知，存在至少一个c，使得$F'(c) = 0$，即

证毕。

利用拉格朗日中值定理也能证明柯西中值定理。因为f和g有相同的定义域，将其自变量转化为t，那么两函数可以表达为参数函数的形式。$x = g(t), y = f(t)$。根据参数函数的链式求导法则：

对新函数y = F(x)应用拉格朗日中值定理，存在至少一个x = g(c)，使得：

证毕。

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理都是很重要的定理，它们之间的推导关系可以认为：

朗格朗日中值定理 $\to$ 罗尔定理 $\to$ 柯西中值定理。

现在开始讨论洛必达法则。

我们求极限的时候，会遇到当趋近某个数值时，表达式变成0/0的情况，它被称为不定式(indeterminate form)。洛必达法则对于这种形式有定理：

Suppose that f(a) = g(a) = 0, that f'(a) and g'(a) exist, and that g'(a) $\neq$ 0. Then

这个定理要注意f'(a)和g'(a)要存在，且$g'(a) \neq 0$

证明：

证毕。

但是，有时候$f'(a)$和$g'(a)$也均为零，那么这时候另一种形式的洛必达法则为：

Suppose that f(a) = g(a) = 0, that f and g are differentiable on an open interval I containing a, and that $g'(x) \neq 0$ on I if $x \neq 0$, Then

assuming that the limit on the right side exists.

洛必达法则有无限“延伸”的特性，因为如果上式成立，在相同条件下可知：

当然，洛必达法则的大前提是不定式0/0的情况要满足，一旦出现非不定式就不能继续“延伸”了。

下面来证明下这种形式的洛必达法则：

我们根据极限的定义分开从左极限和右极限来证明。首先假设$x \to a^+$，那么x和a之间的区间可以应用柯西中值定理得到：

由于f(a)和g(a)均为零，上式可以化简为：

那么

c是一个夹在a和x之间的值，在上式中c是一个变量，因为a和x之间无限趋近，其实c也可以认为等价于x。那么将c替换为x则得到：

同理，$x \to a^-$也可以如上方式证明。

证毕。

从证明方式也可知，洛必达法则也适用于单边极限的求解。

洛必达法则可以做一定的扩展，比如$\infty/\infty$的形式也是成立的。又或者对于$x \to \infty$也是成立的。

例子：

a. $\lim_{x \to \pi/2}\frac{\sec x}{1 + \tan x}$

同样的，右极限也是1.

b. $\lim_{x \to \infty}\frac{x - 2x^2}{3x^2 + 5x}$

有时候还会遇到$\infty \cdot 0$或者$\infty - \infty$的形式，这时候就有想办法将其转换为$frac{\infty}{\infty}$或$\frac{0}{0}$的形式。

比如：

a. $\lim_{x \to \infty}(x \sin \frac{1}{x})$

b. $\lim_{x \to 0}(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})$

练习

1. $\lim_{x \to 2}\frac{x - 2}{x^2 - 4}$

2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{x}$

3. $\lim_{x \to \infty}\frac{5x^2 - 3x}{7x^2 + 1}$

4. $\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{4x^3 - x - 3}$

5. $\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}$

6. $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 3x}{x^3 + x + 1}$