5.1 Estimating with Finite Sums这一节开始铺垫着引出积分的概念。从不规则图形面积，平均值的

这一节开始铺垫着引出积分的概念。从不规则图形面积，平均值的近似求解方式，引导出积分的思想。

首先以不规则图形的面积求解为例，引出有限加和的方式。现有一函数：

y = 1 - x^2

求在其[0, 1]区间，和x轴围成的图形的面积。显然我们没有任何的公式可以简单的求出它的面积，但如果我们将其切分成若干的矩形，那么就可以近似的得到它的面积。如下图：

5.1-1.png

上图中矩形面积和近似于R的面积，当分割的矩形越多，矩形面积和就越接近R的真实面积，但它总是比R的面积略大。这是因为矩形的高总是区子区间的左边值，这种方式称为upper sum(上取和？)，如果矩形的高总是取子区间的右边值，就称为lower sum（下取和？）。如果矩形的高取子区间的中间值，就称为midpoint rule，如下图：

5.1-2.png

另一个例子来自于平均值的求解。通常我们知道离散数据的平均值怎么求解，即将所有离散数据相加，除以离散数据的总数。那么如果不是离散数据，而是连续的数呢？比如温度在介质中很可能是连续但不恒定的。冬天的时候房屋墙体的两端温度是不同的，温度在墙体内部呈现梯度分布，假如是一个线形的函数t(x)，x是墙体的厚度，如何求墙体的平均温度？这时候我们可以用上面的类似思维，将t(x)离散化，比如假设每隔一段距离就测量它的温度，将测得的温度相加后除以测温点，就得到近似的平均温度。

t_{avg} = \frac{\sum_{k = 1}^n t(x_k)}{n} = \frac{\sum_{k = 1}^n t(x_k) \cdot \Delta x}{n \cdot \Delta x}

上面表达式中， $\Delta x$ 指的是每个间隔的距离，n指的是间隔的数量。 $\sum_{k = 1}^n t(x_k) \cdot \Delta x$ 其实是函数t和x轴之间组成图形的面值，而 $n \cdot \Delta x$ 即是墙体的厚度。我们将此泛化，可知线形连续函数的平均值，其实等于它与x轴之间组成图形的面积，除以区间的长度。因此，如何求的这个面积的大小，变得很关键。