4.7 Newton’s Method

这一节简单介绍了一种数值求根的方式，称为牛顿法。因为本节知识点较为孤立，不做深入学习。

假设有函数f(x)，取一点$x_n$作过这一点的切线，可以得到一个线性方程：

求出此线性方程和x轴的交汇点$x_{n + 1}$，则令$y = 0$。

然后重复以上过程，即求出过$x_{n + 1}$切线的线形方程，和它与x轴的交点$x_{n + 2}$，线形方程与x轴的交点就会趋近于f(x)的根。

示意图如下：

应用牛顿法时，$x_n$趋近于根的行为称为收敛(convergence)，通常牛顿法都能很快收敛，但是也是有不收敛的情况出现。而如何评估是否收敛，书上给出了一个公式，但并没有解释，这里也先略过。
另一种情况是，当存在多个根的时候，牛顿法不能保证求出所有的根，这取决于初始值的选择。牛顿法能求根的近似解，但是无法求出存在多少个根。

不收敛的例子：

跳过其它的根的例子：

实际的情况要更复杂，书本上引入一个Fractal Basins的概率，中文翻译成分形吸引域？它涉及到混沌系统和分形的知识，这里就略过了。