4.4 Concavity and Curve Sketching

打工人起个名字
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这一节介绍如何分析函数的凹凸性(concavity)。在开始之前，先吐槽下英语这个破碎的语言。

在这本教材里，使用单词Concavity来指函数的凹凸特性，但是这个词在英文里面似乎只有凹的意思，凸的英文单词其实是convexity。

concavity 凹，名词
concave 凹的，形容词
convexity，凸，名词
convex，凸的，形容词

但是，这教材用concave up表示凹的(即concave)，用concave down表示凸的(即convex)。这就很无语，up和down在这里咋解释？往上凹的是凹，往下凹的是凸？我不是语言学家，对于很多跟风说英文在学术领域表述比中文准确的论调实在无法认同。更多的原因可能是多数近代科技概念多从英文为母语的人发展而来，这些概念的符号映射在英文这个符号集里面较少出现歧义罢了，而绝非英语就是比中文表达的好。好了吐槽完毕。

由于对concave up和concave down实在无法望文知意。将书本中的一个图表放到这里

4.4-1.png

如图所示，函数y=x3y = x^3在x < 0的区间，它的切线斜率递减，即f‘递减。图像呈现的形状为凸起，称为concave down。而在x > 0区间，它的切线斜率递增，即f’递增。图像呈现的形状为凹下，称为concave up。

函数f的切线斜率，其实就是f'，f'的递增根据上一节函数单调性的判断原理，即f'' > 0。由此总结出二阶导数和函数凹凸性的关系：

如何函数f(x)在区间I内二阶可微，那么

  1. 如果在区间I，f'' > 0，那么函数f在区间I向下凹(concave up)
  2. 如果在区间I，f'' < 0，那么函数f在区间I向上凸(concave down)

除了函数的凹凸性外，函数凹凸转变的点(inflection)也值得关注。 inflection点通常位于二阶导数为零，或者二阶导数无定义的位置。


二阶导数除了用于判断函数的凹凸性，也可以用于判断或寻找函数的极值点。结合上一节的内容，可以推导出判断局部极值点的推论：

Suppose f'' is continuous on an open interval that contains x = c.

  1. If f'(c) = 0 and f''(c) < 0, then f has a local maximum at x = c.
  2. If f'(c) = 0 and f''(c) > 0, then f has a local minimum at x = c.
  3. If f'(c) = 0, and f''(c) = 0, then the test fails. The function f may have a local maximum, a local minumum, or neighter.

我们尝试证明下这个推论。本书的证明方式不是很容易理解，这里我用另一种证明方式。

f′′(c)=lim⁡h→0f′(c+h)−f′(c)hf''(c) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h}

因为f′(c)=0f'(c) = 0, 上式简化为

lim⁡h→0f′(c+h)h<0\lim_{h \to 0}\frac{f'(c + h)}{h} < 0

分别考察左右极限

lim⁡h→0−f′(c+h)h<0∵h<0∴f′(c+h)>0lim⁡h→0+f′(c+h)h<0∵h>0∴f′(c+h)<0\lim_{h \to 0^-}\frac{f'(c + h)}{h} < 0 \\ \because h < 0 \\ \therefore f'(c + h) > 0 \\ \lim_{h \to 0^+}\frac{f'(c + h)}{h} < 0 \\ \because h > 0 \\ \therefore f'(c + h) < 0

在这里可以认为h<∣δ∣h < |\delta|，其中δ\delta为一个极小值。那么c + h就变成在c左右各取一个极小值，得到f′(c−δ)>0f'(c - \delta) > 0，即函数在c的左侧递增；f′(c+δ)<0f'(c + \delta) < 0，即函数在c的右侧递减；因此c点是一个局部最大值。

同样的方式可以证明第二个推论。



练习

  1. y=x33−x22−2x+13y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{1}{3}

y′=x2−x−2y' = x^2 - x - 2
令y' = 0，得到x = -1, x = 2
y′′=2x−1y'' = 2x - 1
令y'' = 0，得到x = 1/2

因为f'(-1) = 0, f''(-1) < 0, 那么f(-1)是最大值
因为f'(2) = 0, f''(2) > 0, 那么f(2)是最小值
当x < 1/2时，f''(x) < 0, 函数上凸(concave down)
当x > 1/2时，f''(x) > 0, 函数下凹(concave up)


  1. y=x44−2x2+4y = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 4

y′=x3−4xy' = x^3 - 4x
令y' = 0，得到x = -2，x = 0， x = 2
y′′=3x2−4y'' = 3x^2 - 4
令y'' = 0，得到x=±4/3x = \pm\sqrt{4/3}

因为f'(-2) = 0, f''(-2) > 0, 那么f(-2)是一个局部最小值
因为f'(0) = 0, f''(0) < 0, 那么f(0)是一个局部最大值
因为f'(2) = 0, f''(2) > 0, 那么f(2)是一个局部最小值
当x<−4/3x < -\sqrt{4/3}时，f''(x) > 0, 函数下凹(concave up)
当−4/3<x<4/3-\sqrt{4/3} < x < \sqrt{4/3}时，f''(x) < 0, 函数上凸(concave down)
当x>4/3x > \sqrt{4/3}时，f''(x) > 0， 函数下凹(concave up)

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