4.1 Extreme Values of Functions

打工人起个名字
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这一节介绍应用导数来求得函数极值(注意区分和极限的概念区别)的方法。

首先，函数极值(extrema)的定义，很容易理解：

有一定义域为D的函数f，函数在定义域内的c处有最大值(absolute/global maximum)，如果对于定义域内的所有x有

f(x)≤f(c)f(x) \leq f(c)

函数在定义域内的c处有最小值(absolute/global minumum)，如果对于定义域内的所有x有

f(x)≥f(c)f(x) \geq f(c)

定义很强调在函数的定义域内，因为除了全局极值，其实还有局部极值的概念。有时候在某个区间内，存在一个或多个局部极值的情况，对局部极值的分析也是有现实应用意义的。当定义局部极值时，以上不等式的x改为包含c的某个开区间内即可，而不必在整个定义域内。


极值定理

在函数f的一个连续闭区间[a, b]内，存在最大和最小值。

这个定理最重要的前提是连续，一旦确保了连续，其实这个结果从几何角度看是显而易见的。证明的方法和实数的连续性性质相关，这里就不讨论了。


由于是连续函数，或者是连续的区间，那么就可能存在导数，由此引出第一个推论：

如果函数在定义域内的c有一个局部极值，如果在c处存在导数，那么

f′(c)=0f'(c) = 0

导数为零，那么此处切线平行于x轴。从几何图形上看，能直觉告诉我们这是对的。但是这个推论也可以证明一下，我们从导数的定义入手，函数在c处存在导数，就是说存在

lim⁡x→cf(x)−f(c)x−c\lim_{x \to c}\frac{f(x) - f(c)}{x - c}

而极限存在的一个判断标准是它的左右极限都存在，且相等。那么假设c为局部最大值，我们分别考察它的左右极限

lim⁡x→c−f(x)−f(c)x−c\lim_{x \to c^-}\frac{f(x) - f(c)}{x - c}

∵x<c,f(x)≤f(c)\because x < c, f(x) \leq f(c)
∴lim⁡x→c−f(x)−f(c)x−c≥0\therefore \lim_{x \to c^-}\frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0

lim⁡x→c+f(x)−f(c)x−c\lim_{x \to c^+}\frac{f(x) - f(c)}{x - c}

∵x>c,f(x)≤f(c)\because x > c, f(x) \leq f(c)
∴lim⁡x→c+f(x)−f(c)x−c≤0\therefore \lim_{x \to c^+}\frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0

左极限大于等于零，右极限小于等于零，那么极限其实等于零。局部最小值的证明也类似思路。

特别注意的是，以上推论的前提有两个，一是存在极值，二是在极值处有导数。换句话说，函数存在极值不等于说极值处就存在等于零的导数。一个显而易见的例外是，定义域的两端处没有导数（单向可微）。另外，导函数也不一定存在等于零的解，或者导函数本身存在无定义域的区域。


所以，如何求极值变成考察函数的导函数解为零的点，定义域的边界，以及导函数没有定义域的区域。将所有这些情况下的函数值求出，进行比较就可以判断函数的极值了。

例子：求f(x)=x2/3,x∈[−2,3]f(x) = x^{2/3}, x \in [-2, 3]的极值

f′(x)=23x−1/3=23x3,x≠0f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}, x \neq 0

我们发现f′(x)=0f'(x) = 0无解，因此我们考察定义域的边界，即f(-2)和f(3)，以及导函数无定义域处，即x=0时f(x)的值。

f(0)=0f(−2)=(−2)2/3f(3)=(3)2/3f(0) = 0 \\ f(-2) = (-2)^{2/3} f(3) = (3)^{2/3}

所以求得最小值为f(0) = 0，最大值为f(3)=(3)2/3f(3) = (3)^{2/3}



练习

  1. f(x)=23x−5, −2≤x≤3f(x) = \frac{2}{3}x - 5, \ -2 \leq x \leq 3

f′(x)=23f'(x) = \frac{2}{3}
f(−2)=−193f(-2) = -\frac{19}{3}
f(3)=−3f(3) = -3

最大值为-3，最小值为−193-\frac{19}{3}


  1. f(x)=−x−4, −4≤x≤1f(x) = -x - 4, \ -4 \leq x \leq 1

f′(x)=−1f'(x) = -1
f(−4)=0f(-4) = 0
f(1)=−5f(1) = -5

最大值0，最小值-5


  1. f(x)=x2−1, −1≤x≤2f(x) = x^2 - 1, \ -1 \leq x \leq 2

f′(x)=2x, f′(0)=0, f(0)=−1f'(x) = 2x, \ f'(0) = 0, \ f(0) = -1
f(−1)=0f(-1) = 0
f(2)=3f(2) = 3

最大值3，最小值-1


  1. f(x)=4−x2, −3≤x≤1f(x) = 4 - x^2, \ -3 \leq x \leq 1

f′(x)=−2x, f′(0)=0, f(0)=4f'(x) = -2x, \ f'(0) = 0, \ f(0) = 4
f(−3)=−5f(-3) = -5
f(1)=3f(1) = 3

最大值4， 最小值-5


  1. F(x)=−1x2, 0.5≤x≤2F(x) = -\frac{1}{x^2}, \ 0.5 \leq x \leq 2

F′(x)=2x3,F′(x)=0不存在F'(x) = \frac{2}{x^3}, F'(x) = 0\text{不存在}
F(0.5)=−4F(0.5) = -4
F(2)=−14F(2) = -\frac{1}{4}

最大值−14-\frac{1}{4}，最小值-4


  1. F(x)=−1x, −2≤x≤−1F(x) = -\frac{1}{x}, \ -2 \leq x \leq -1

F′(x)=1x2, F′(x)=0不存在F'(x) = \frac{1}{x^2}, \ F'(x) = 0\text{不存在}
F(−2)=12F(-2) = \frac{1}{2}
F(−1)=1F(-1) = 1

最大值1，最小值1/2

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