4.8 Antiderivatives

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这一节开始进入积分的部分,首先引入一个词antiderivative,即求导的反运算。有很多地方将其翻译为不定积分,我更倾向于称为反导数/原函数。



先引入定义:

A function F is an antiderivative of f on an interval I if F'(x) = f(x) for all x in I.

也就是说,我们已知某函数的导函数,通过它反过来求的原函数的过程称为antiderivative。


比如:求f(x) = 2x的antiderivative

F(x)=x2+CF(x) = x^2 + C

从之前的求导法则可以,F函数可以有无数个,因为C是一个任意的常数。因此F(x)+CF(x) + C可称为general antiderivative。在现实的应用中,需要知道至少一个原函数的点,才能得到一个确定的antiderivative。



所有的antiderivative的集合,称为之不定积分(indefinite integral),这里引入新的数学记号。

The set of all antiderivative of f is the indefinite integral of f with respect to x, denoted by

f(x)dx\int f(x) dx

其中f称为被积函数(integrand),x称为积分变量(variable of integration)。



练习

a. x2x^2
b. x33\frac{x^3}{3}
c. x33x2+x\frac{x^3}{3} - x^2 + x