3.3 The Derivative as a Rate of Change

这一节主要介绍导数或微分在现实中的应用，或者反过来说，它们是如何从人们观察现实世界的经历中发展出来的。

首先准确的定义了前面学习到的瞬时速率或瞬时变化率(instantaneous rate of change)。

The instantaneous rate of change of f with respect to x at $x_0$ is the derivative

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

provided the limit exists.

假设物体的位置s(注意是位置，不是移动距离)和时间t直接的函数为：

$s = f(t)$

物体在时间间隔$\Delta t$，那么位移(displacement)$\Delta s$：

$\Delta s = f(t + \Delta t) - f(t)$

平均速度：

$v_{av} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

瞬时速度（instantaneous velocity, 通常简称为速度）：

$v(t) = \frac{ds}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

Speed(不知如何翻译，在英语里它和速度velocity是不一样的，它并没有方向)：

$Speed = |v(t)| = |\frac{ds}{dt}|$

加速度(acceleration)：

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$

Jerk(不知怎么翻译？)：

$j(t) = \frac{da}{dt} = \frac{d^3s}{dt^3}$

在经济学上，成本与产量之间的函数称为cost of production c(x)。

marginal cost of production: c'(x)

marginal revenue of production: r'(x)

练习

1. $s = t^2 - 3t + 2, \ 0 \le t \le 2$

$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) = s(2) - s(0) = -2$

$v_{av} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} = \frac{-2}{2} = -1$

$speed = |\frac{ds}{dt}| = |2t - 3| = 1$

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = 2$

change direction

2. $s = 6t - t^2, \ 0 \le t \le 6$

$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) = s(6) - s(0) = 0$

$v_{av} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} = 0/6 = 0$

$speed = |\frac{ds}{dt}| = |6 - 2t| = 6$

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = -2$

did not change direction

3. $s = -t^3 + 3t^2 -3t, \ 0 \le t \le 3$

$\Delta s = -9$

$v_{av} = -3$

$speed = 12$

$a(t) = -12$

change direction