3.8 Linearization and Differentials这一节从曲线的线性化近似入手，初步切入微分的概念。

这一节从曲线的线性化近似入手，初步切入微分的概念。

线性化(Linearization)指的是用曲线某点的切线来近似这点附近的值。根据点斜率方程，那么y=f(x)在x=a处切线为：

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

将其看成线性函数L：

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$

引用定义：

If f is differentiable at x = a, then the approximating function

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$

is the linearization of f at a. The approximation

$f(x) \approx L(x)$

of y by L is the standard linear approximation of f at a. The point x = a is the center of the approximation.

下面结合函数图像进一步讨论函数的线性近似函数(切线)和它本身之间的变化和关系，即当x在a附近变化时两个函数的联系。

3.8-1.png

首先约定dx和dy是切线函数L(x)的在x和y上的变化，而 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是原函数f(x)在x和y上的变化， $dx = \Delta x$ 。所以我们可得：\

\begin{aligned} \Delta L &= dy =L(a + dx) - L(a) \\ &= f(a) + f'(a)(a + dx - a) - f(a) - f'(a)(a - a) \\ &= f'(a)dx \end{aligned}

这就是微分的标准形式。注意这里符号dy，dx的意思发生了一些变化，和前面章节的求导符合的意义是不同的，这里dy，dx可以认为是两个变量。它们分别被称为differential dx和differential dy。

在f变化 $\Delta x$ 后，f函数实际对应的变化是 $\Delta y$ ，当 $\Delta x$ （dx）足够小的时候：

\Delta y \approx dy

这可能就是“微分”一词的来源吧？

我们评估下 $\Delta y$ 和dy的误差：

\begin{aligned} approximation \ error &= \Delta y - dy \\ &= \Delta y - f'(a)\Delta x \\ &= f(a + \Delta x) - f(a) - f'(a)\Delta x \\ &= (\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} - f'(a))\Delta x \\ &= \varepsilon \cdot \Delta x \end{aligned}

当 $\Delta x \to 0$ 时， $\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} \to f'(a)$ ，误差趋近于零，即 $dy \to \Delta y$ 。

真实的y变化量可以表示为：

$\Delta y = dy + \varepsilon \Delta x = f'(a)\Delta x + \varepsilon \Delta x$

其中， $f'(a)\Delta x$ 为近似变化量， $\varepsilon \Delta x$ 为误差值。

引用一下英文表述：

If y = f(x) is differentiable at x = a and x changes from a to $a + \Delta x$ , the change $\Delta y$ in y is given by an equation of the form

$\Delta y = f'(a)\Delta x + \varepsilon \Delta x$

in which $\varepsilon \to 0$ as $\Delta x \to 0$ .

链式法则的证明

假设有函数 $y = f(g(x))$ ， $u = g(x)$ ，如果g(x)在 $x_0$ 处可微，且f(u)在 $u_0$ 处可微，根据上面的微分方程可知：

\Delta u = g'(x_0)\Delta x + \varepsilon_1\Delta x = \Delta x(g'(x_0) + \varepsilon_1)

\Delta y = f'(u_0)\Delta u + \varepsilon_2\Delta u = \Delta u(f'(u_0) + \varepsilon_2)

代入 $\Delta u$ 到第二个式子，得到：

\Delta y = \Delta x(g'(x_0) + \varepsilon_1)(f'(u_0) + \varepsilon_2)

\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u_0)g'(x_0) + \varepsilon_1 f'(u_0) + \varepsilon_2 g'(x_0) + \varepsilon_1 \varepsilon_2

当 $\Delta x \to 0$ 时， $\varepsilon_1 \to 0$ ， $\varepsilon_2 \to 0$ ，得到：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x = x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u_0)g'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0)

证毕。

嗯，感觉这个证明不太严密的样子。

然后介绍了一些方程或函数变化敏感度的评估和应用

Absolute change: $\Delta f = f(a + dx) - f(a)$ (true), $df = f'(a)dx$ (estimate)

Relative change: $\frac{\Delta f}{f(a)}$ (true), $\frac{df}{f(a)}$ (estimate)

Percentage change: $\frac{\Delta f}{f(a)} \times 100$ (true), $\frac{df}{f(a)}$ (estimate)

一个应用例子：在一定的压力下，单位时间流过一个管子的液体体积和管子的半径有如下关系

V = kr^4

问10%的半径扩张，会使得V增加多少？

dV = \frac{dV}{dr}dr = 4kr^3dr

V的相对变化率为：

\frac{dV}{V} = \frac{4kr^3dr}{kr^4} = 4\frac{dr}{r}

从上式可知，r的相对变化率和V的关系，即10%的r变化会导致40%的V的变化。

练习

$f(x) = x^3 - 2x + 3, a = 2$

$f(a) = 7, f'(a) = 3a^2 - 2 = 10$

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) = 7 + 10(x - 2) = 10x - 13$

$f(x) = \sqrt{x^2 + 9}, a = -4$

$f(a) = 5, f'(a) = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + 9}^{-1/2} = \frac{1}{10}$

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) = 5 + \frac{1}{10}(x + 4) = \frac{27}{5} + \frac{x}{10}$

$f(x) = x + \frac{1}{x}, a = 1$

$f(a) = 2, f'(a) = 1 - \frac{1}{a^2} = 0$

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) = 2$

$f(x) = \sqrt[3]{x}, a = -8$

$f(a) = -2, f'(a) = \frac{1}{3}a^{-2/3} = \frac{1}{12}$

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) = -2 + \frac{1}{12}(x + 2) = \frac{1}{12}x + 4$

5 - 18 略

$y = x^3 - 3\sqrt{x}$

$dy =\frac{dy}{dx}dx = (3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}})dx$

$y = x\sqrt{1 - x^2}$

$dy = \frac{dy}{dx}dx = (\frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}})dx$