3.7 Related Rates

这一节拓展了另一种求导的问题和方法。在某些情况下，我们知道某一个变量a相对应变量t的变化率，而对于与a变量关联的另一个变量b相对于相同变量t的变化率却不容易获得。那么在这种情况下，如果我们已经知道了两个相关变量a和b的方程，那么可以通过对方程应用链式法则来求得变量b相对于变量t的变化率。

$a = f(b), \ b = g(t)$

$\frac{da}{dt} = \frac{da}{db} \cdot \frac{db}{dt}$

例子：一个圆柱形的储水箱在向外排水，已知排水的流量为$-3000L/min$，那么液面的下降速度为？我们可以列出圆柱体体积公式：

$V = 1000\pi r^2 h$

对等式两边求导，可得：

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}\cdot \frac{dh}{dt} = 1000\pi r^2 \frac{dh}{dt}$

代入$dV/dt$，可得：

$\frac{dh}{dt} = \frac{-3000}{1000\pi r^2} = -\frac{3}{\pi r^2}$

练习

1. $A = \pi r^2$

2. $S = 4\pi r^2$

3. $V = \pi r^2 h$

a. $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}\cdot \frac{dh}{dt} = \pi r^2 \cdot \frac{dh}{dt}$

b. $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi r h \cdot \frac{dr}{dt}$

c. $\frac{dV}{dt} = \pi(2r\cdot \frac{dr}{dt}\cdot h + r^2\cdot \frac{dh}{dt}) = 2\pi rh\frac{dr}{dt} + \pi r^2\frac{dr}{dt}$

4. $V = (1/3)\pi r^2h$

a. $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}\cdot \frac{dh}{dt} = (1/3)\pi r^2\frac{dh}{dt}$

b. $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\cdot \frac{dr}{dt} = (2/3)\pi rh\frac{dr}{dt}$

c. $\frac{dV}{dt} = (1/3)\pi(2r\cdot \frac{dr}{dt}\cdot h + r^2\cdot \frac{dh}{dt}) = (2/3)\pi rh\frac{dr}{dt} + (1/3)\pi r^2\frac{dh}{dt}$

5. $V = IR$

a. $\frac{dV}{dt} = 1$

b. $\frac{dI}{dt} = 1/3$

c. $\frac{dV}{dt} = R\cdot \frac{dI}{dt} + I\cdot \frac{dR}{dt}$

d. 当V = 12， I = 2时，R = 6，代入上式得：

$\frac{dV}{dt} = 6\frac{dI}{dt} + 2\frac{dR}{dt}$

得到$\frac{dR}{dt} = -1/2$，电阻在减少。

6. $P = RI^2$

a. $\frac{dP}{dt} = I^2\frac{dR}{dt} + 2R\frac{dI}{dt}$

b. $0 = I^2\frac{dR}{dt} + 2R\frac{dI}{dt}$