5.2 Sigma Notation and Limits of Finite Sums

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这一节介绍了求和的一些符号规定和计算法则,基本上高中生都应该知道的知识。

比如:

k=1n(ak+bk)=k=1nak+k=1nbk\sum_{k = 1}^n(a_k + b_k) = \sum_{k = 1}^n a_k + \sum_{k = 1}^n b_k
k=1n(akbk)=k=1nakk=1nbk\sum_{k = 1}^n(a_k - b_k) = \sum_{k = 1}^n a_k - \sum_{k = 1}^n b_k
k=1n(cak)=ck=1nak\sum_{k = 1}^n(c \cdot a_k) = c \cdot \sum_{k = 1}^n a_k
k=1nc=nc\sum_{k = 1}^n c = n \cdot c

一些常用的公式:

k=1nk=n(n+1)2\sum_{k = 1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k = 1}^n k^3 = (\frac{n(n + 1)}{2})^2

介绍了一个叫Riemannn Sum的东西。

Sp=k=1nf(ck)ΔxkS_p = \sum_{k = 1}^n f(c_k)\Delta x_k

如下图,上式表示的是求区间[a, b]的函数f的面积。其中a=x0,b=xna = x_0, b = x_nΔxk\Delta x_k表示的是分割出来的子区间[xk1,xk][x_{k - 1}, x_k]的长度xkxk1x_k - x_{k - 1}ckc_k是子区间[xk1,xk][x_{k - 1}, x_k]中的一点。

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