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矩阵理论
Dingyuan
创建于2023-01-18
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矩阵理论基础知识
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创建于2023-01-18
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0 基本知识
基础理论 一、矩阵乘法 1 存在非0的0因子 $A \ne \mathbb{0}, B \ne \mathbb{0}$ but $AB=0$ 主对角线上方的此对角线全是1,其他地方为0的方阵。 这个矩
1 线性空间
线性空间 定义 两个空间V和F 两个运算分别on两个空间:加法(V)和数乘(F) 8个性质:加法交换律、加法结合律、加法有0元、加法有相反数、数乘有1元、数乘结合律、空间1分配律、空间2分配律 性质
2 内积空间
内积空间 把内积推广到一般线性空间 定义 在一般的线性空间的基础上,再增加如下4条 $\forall \theta \ne \alpha \in V, \langle\alpha, \alpha\ra
3 相似标准型
相似标准型 特征值与特征向量 $A\eta = \lambda \eta$,$(\lambda I - A)\eta=\theta$ 有非0解。因此$|\lambda I - A| = 0$ 线性变换
4 Hermit 二次型
Hermit 二次型 Hermit矩阵 对于复数变量$X$ $f(X)=X^HAX=\sum a_{ij}\bar{x_i} x_j$ 可以证明$f\in R \Leftrightarrow A^H=
5 矩阵函数
矩阵函数 范数 定义与例子 考虑$V$在数域$F$上的向量空间,定义$V$上的函数$v$,满足: $\forall \theta \ne \alpha, v(\alpha) > 0$ $\forall
6 广义逆
## motivation 不是方阵、不满秩,还不能求逆了? ## definition A和G是复数域矩阵(不一定方,但G的形状和A转置一样),如果满足下面4条件,则$G$是$A$的广义逆矩阵。
7 矩阵分解
## 满秩分解 详见00basic ## 满秩矩阵的QR分解 ### 理论 首先待分解矩阵$A$是一个满秩矩阵,所以他的列向量组$[\alpha_1, ..., \alpha_n]$是线性无关的