矩阵理论

基础理论 一、矩阵乘法 1 存在非0的0因子 $A \ne \mathbb{0}, B \ne \mathbb{0}$ but $AB=0$ 主对角线上方的此对角线全是1，其他地方为0的方阵。 这个矩

线性空间 定义 两个空间V和F 两个运算分别on两个空间：加法（V）和数乘（F） 8个性质：加法交换律、加法结合律、加法有0元、加法有相反数、数乘有1元、数乘结合律、空间1分配律、空间2分配律 性质

内积空间 把内积推广到一般线性空间 定义 在一般的线性空间的基础上，再增加如下4条 $\forall \theta \ne \alpha \in V, \langle\alpha, \alpha\ra

相似标准型 特征值与特征向量 $A\eta = \lambda \eta$，$(\lambda I - A)\eta=\theta$ 有非0解。因此$|\lambda I - A| = 0$ 线性变换

Hermit 二次型 Hermit矩阵 对于复数变量$X$ $f(X)=X^HAX=\sum a_{ij}\bar{x_i} x_j$ 可以证明$f\in R \Leftrightarrow A^H=

矩阵函数 范数 定义与例子 考虑$V$在数域$F$上的向量空间，定义$V$上的函数$v$，满足： $\forall \theta \ne \alpha, v(\alpha) > 0$ $\forall

## motivation 不是方阵、不满秩，还不能求逆了？ ## definition A和G是复数域矩阵（不一定方，但G的形状和A转置一样），如果满足下面4条件，则$G$是$A$的广义逆矩阵。

## 满秩分解 详见00basic ## 满秩矩阵的QR分解 ### 理论 首先待分解矩阵$A$是一个满秩矩阵，所以他的列向量组$[\alpha_1, ..., \alpha_n]$是线性无关的