矩阵函数

范数

定义与例子

考虑$V$在数域$F$上的向量空间，定义$V$上的函数$v$，满足：

• $\forall \theta \ne \alpha, v(\alpha) > 0$
• $\forall \alpha \in V, k \in F, v(k\alpha) = |k|v(\alpha)$
• $\forall \alpha, \beta \in V, v(\alpha + \beta) \le v(\alpha) + v(\beta)$

称$v$是范数，空间是范线性空间

例子：

• p-norm $||X||_1 = \sum_{i}|x_i|$
• 2-norm $||X||_2 = \sum_{i}(X^HX)^{1/2}$

  如果U，V都是酉矩阵，那么$||A||_2=||UAV||_2$ 矩阵2-范数的一个计算方法$\sqrt{tr(A^HA)}$

• $\infty$-norm $||X||_\infty = \max |x_i|$

极限

定义$\lim ||\eta_t-\eta_0||=0$，在范数下趋向于$\eta_0$

收敛定理：每一个位置的数字都收敛和按照范数收敛等价。

幂级数： 简单复习一下幂级数的收敛半径的概念
$f(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^{g(i)}$
验证其收敛性可以通过求解$\lim |\frac{a_{i+1}x^{g(i+1)}}{a_i x^{g(i)}}| = \lambda(x)$ \ 要想幂级数收敛，$\lambda(x) < 1$，可以得到x的范围，对于$\lambda(x)=1$的情况还需要额外验证。
如果$f(x)$是矩阵函数，那么能否收敛关键看$rho(X)$和收敛半径的关系，严格小于是收敛，等号验证，严格大于发散

可比较性

如果存在两个正实数$k_1, k_2$，对任意向量，有$k_1||\alpha|| \le ||\alpha||' \le k_2||\alpha||$，两个范数可比较

作用：可比较的范数之间，收敛性是一样的。

性质：有限维的线性空间上任意的范数都是可以比较的。

这很有用，这样的话，收敛的讨论具有较高的泛化性。

相容性

$||AB|| \le ||A||||B||$，则范数相容

eg 1,2-norm相容，$\infty$-norm不相容

算子范数

$||A|| = \max_{\theta \ne X} \frac{||AX||}{||X||}$

A是一个线性映射，看作是一种算子，所以对这个矩阵的范数看作是算子范数。

它有没有意义（会不会没有最大值）？始终有意义。

他是不是一个范数？可以证明是。

定理：算子范数一定相容。

eg

• 1-norm $\max\{\sum_{i}|a_{ij}|\}$ 列模和范数
• 2-norm $\sqrt{\rho(A^HA)}$，谱范数 特征值模的最大值
• $\infty$-norm $\max\{\sum_{j}|a_{ij}|\}$ 行模和范数

矩阵函数

矩阵函数的定义很保守，他不能包含全部基本初等函数，定义方式是能够展开成幂级数，并且在收敛域内，在可以定义。按照幂级数定义。

对于Jordan块，我们会在特征值处展开，这样的好处是只有$N$矩阵，随着次数升高就变成0了。

如果是Jordan矩阵，就分别对每个块去求。

能算Jordan矩阵了，对于任意方阵$A$，$f(A) = f(P^{-1}JP) = P^{-1}f(J)P$

性质定理：A的特征值$\lambda$和$f(A)$的特征值为$f(\lambda)$

性质

• $e^O = I$
• $AB=BA \Rightarrow e^A e^B = e^{A+B}$
• (e^A)^{-1} = e^{-A}

例题

1 对Jordan块$J = \begin{bmatrix}\lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}$，求$p(J)$

对p(x)在$\lambda_0$点Taylor展开。

$p(x) = p(\lambda_0) + \frac{1}{1!}p^{(1)}(\lambda_0)(x-\lambda_0) + \frac{1}{2!}p^{(2)}(\lambda_0)(x-\lambda_0)^2 + ...$

$p(J) = p(\lambda_0)I + \frac{1}{1!}p^{(1)}(\lambda_0)N + \frac{1}{2!}p^{(2)}(\lambda_0)N^2 + ...$

由于N的特点，很容易写出来。

2 待定系数法求解

基本思想，从上一题我们发现，$f(A)$的作用其实很小，因为只有特征值那一点是在实际做映射，但是导数次数很高。 所以尝试找到一个多项式函数，让他在导数和原函数特征值的位置跟$f$一样，就可以了。

那么多项式次数多少、系数满足什么条件，参照如下定理 $A$的最小多项式为$\pi(\lambda-\lambda_i)^{t_i}$，$f(A) = g(A) \Leftrightarrow f^i(\lambda_t)=g^i(\lambda_t)$

$i = 0, 1, ... t_i - 1$