线性空间

定义

两个空间V和F 两个运算分别on两个空间：加法（V）和数乘（F） 8个性质：加法交换律、加法结合律、加法有0元、加法有相反数、数乘有1元、数乘结合律、空间1分配律、空间2分配律

性质

设V是数域F上的线性空间，则

V中的0向量是唯一的。
负元素存在且唯一
加法有消去律
加法方程 $\alpha + x = \beta$ 有唯一解
$(-k)\alpha = -(k\alpha)$
$k\alpha=\theta \leftarrow k = 0/ \alpha=\theta$

基、维数、坐标

基：V中的n个向量，线性无关、且任意元素均可以由这n个元素线性表示维数：所有的基包含的元素一样多，数量称为维数坐标：每个元素都可以由基线性组合，基前面的系数就是坐标

有了坐标以后很好用，比如0元素的坐标一定是0，线性相关的元素，坐标也是线性相关的，并且组合系数可以应用在坐标上。也就是说，有了坐标，不需要考虑抽象空间，只要找到了基，就可以研究坐标空间了，这就回到了数域上来。

性质

线性空间中基不一定存在：比如零空间 $V={\theta}$ 、多项式空间（基无穷多）

$\alpha_1, ...\alpha_n$ 线性无关， $\beta_1, ...\beta_n$ 线性无关，那么坐标变换形成的矩阵 $A$ 是可逆矩阵， $(\beta_1, ..., \beta_n) = (\alpha_1, ..., \alpha_n) A$

如果两组向量都是线性无关并且可以是一组基，那么 $A$ 又称为过渡矩阵。

性质：逆矩阵可以反过来换基，连乘可以多次换基。坐标也可以通过乘过渡矩阵实现变换。

子空间

$V$ 向量集存在一个非空子集 $W$ ，在 $F$ 上的相同计算也构成线性空间，那 $W$ 是子空间。

判定定理： $W$ 关于线性运算封闭

常见子空间

平凡子空间： ${\theta}, V$
解空间： $\{\eta|A\eta=\theta\}$
线性空间： $\{\sum_i k_i\alpha_i\}$ ，由 $\alpha_1, ...\alpha_s$ 生成的子空间，记作 $L(\alpha_1, ...\alpha_s)$
平面上经过原点的直线

子空间的交集 交集一定是子空间

子空间的和集 并集不一定是子空间，因此定义和集，即并完以后，把求和产生的元素也放入集合。

子空间的直和 对任意 $\eta \in V_1 + V_2$ ，存在唯一的 $\eta_1\in V_1, \eta_2 \in V_2, s.t. \eta=\eta_1+\eta_2$ 记作 $V_1\oplus V_2$

直和的4个等价表述

$\theta$ 表示方式唯一

$V_1\cap V_2 = \{\theta\}$ (证明常用，多个子空间是直和，那么应该满足 $V_j \cap \sum_{i\ne j} V_i=\{\theta\}$ )

$dim(V_1 + V_2) = dim(V_1) + dim(V_2)$

$V_1$ 和 $V_2$ 的基合在一起就是直和空间的基

eg 证明 $V_1 = \{A|A^T=A\}$ 和 $V_2=\{A|A^T=-A\}$ ，两个空间的和是直和且构成 $F^{n\times n}$ 证明: 和是直和交空间是O。 $A=A^T=-A \rightarrow A=O$ 和构成全空间，证明相互包含。 $V_1+V_2\subset F$ 显然，关键是 $F \subset V_1 + V_2$ ，任何一个矩阵可以表示为 $M=1/2(A+A^T) + 1/2 (A-A^T)$

维数定理 $dim(V_1 + V_2) = dim(V_1) + dim(V_2) - dim(V_1\cap V_2)$

eg $V_1 = L(\alpha_1, \alpha_2), V_2 = L(\beta_1, \beta_2)$ ，求 $V_1 + V_2, V_1\cap V_2$ 的基和维数。其中 $\alpha_1 = [1,2,1,0]^T, \alpha_2 = [-1,1,1,1]^T, \beta_1 = [2,-1,0,1]^T, \beta_2 = [1,-1,3,7]^T$
解：对 $V_1+V_2$ 只需要求两组基合在一起的极大线性无关组即可。对 $V_1\cap V_2$ ，其中的向量 $\eta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=l_1\beta_1 + l_2\beta_2$ ，因此 $\eta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2-l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = \theta$ 。 $(k_1, k_2, l_1, l_2)$ 可以看作是一个方程组 $[\alpha_1, \alpha_2, -\beta_1, -\beta_2]x=\theta$ 的解。解完以后，得到系数的关系，带入到 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$ 即可。

线性映射

满足齐性和可加性的映射称为线性映射 核子空间：被映射到0元的元素构成的空间

性质

$f(\theta) = \theta$
线性相关的向量组经过线性映射还是线性相关的（线性无关的不保证）

基偶和矩阵

线性映射 $f: V \rightarrow U$ V和U分别有1组基，称为基偶 $f(\alpha_1), ...,f(\alpha_s)=(\beta_1, ..., \beta_t)A$
$A$ 为选定基偶的矩阵。如果是线性变换，U和V是同一个空间，那只需要一组基即可。

线性变换矩阵的深入认识 如果在一组确定基下两个线性变换 $f,g$ 的矩阵分别为 $A,B$ ，则

$kf = kA$
$f+g = A + B$
$fg = AB$
$f^{-1}=A^{-1}$

矩阵的性质：坐标直接用A映射可以直接得到映射后的坐标

重要定理
$f \in Hom(V, U)$ 选定基偶 $(\alpha_1, ..., \alpha_s)$ 和 $(\beta_1, ..., \beta_t)$ 下的矩阵是 $A$ ，则 $f$ 在新基偶
$(\alpha'_1, ...\alpha'_s) = (\alpha_1, ..., \alpha_s)P$ 和 $(\beta'_1, ..., \beta'_t)=(\beta_1, ..., \beta_t)Q$ 下的矩阵 $B=Q^{-1}AP$

证明：
按照定义：
$(f(\alpha'_1), ..., f(\alpha'_s))=(\beta'_1, ..., \beta'_t)B$
考察 $f(\alpha'_i)$ ，首先根据 $P$ 的定义， $\alpha'_i$ 在基 $\alpha_1, ..., \alpha_s$ 的坐标就是 $p_i$ 。有根据矩阵的性质，映射可以直接用矩阵去乘，
所以 $f(\alpha'_i)$ 在基 $\beta_i$ 下的坐标是 $Ap_i$ ，那么原始的向量为 $f(\alpha'_i)=(\beta_1, ..., \beta_t)Ap_i$
所以 $(f(\alpha'_1), ..., f(\alpha'_s))=(\beta_1, ..., \beta_t)AP$ 按照Q的定义把 $\beta_i$ 换成 $\beta'_i$ 即证。

特殊化：如果是线性变换，那么只有一组基， $B=P^{-1}AP$

eg 考虑一个2阶多项式空间的线性变换，变换方式 $f$ 为求导运算。求在基 $p_1 = 1+x+3x^2, p_2 = 1+x, p_3 = 1+2x-x^2$ 下的矩阵。

解1：这个问题如果直接按照定义， $f(p_1), f(p_2), f(p_3) = (p_1, p_2, p_3)A$ ，会演变成用一些不标准的多项式凑另一组多项式，不好弄。
解2：利用上面的重要定理。设一组基 $p_1=1, p_2=x, p_3=x^2$ ，在这组基下的矩阵为：
$(f(p_1), f(p_2), f(p_3))=(p_1, p_2, p_3)A$
$A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
接下来考察 $P$ 矩阵(注意p'是原题目里的p)， $(p'_1, p'_2, p'_3)=(p_1, p_2, p_3)P$ 显然 $P=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -1\end{bmatrix}$
所以答案为 $P^{-1}AP$

值域与核子空间的应用

定理

$f$ 是满射 $\Leftrightarrow R(f)=U \Leftrightarrow dim(R(f))=dim(U)$
$f$ 是单设 $\Leftrightarrow K(f)=\{\theta\} \Leftrightarrow dim(K(f))=0$

证明
$\Leftarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow f(x)-f(y)=\theta \Leftrightarrow f(x-y)=\theta \Leftrightarrow x-y=\theta \Leftrightarrow x=y$
$\Rightarrow f(\theta)=\theta, f(\eta)=\theta, \eta=\theta$

计算

$R(f)$ 的计算:按照定义 $f(\alpha_1), ... = (\beta_1,...)A$ ，那值域就是A能表示的坐标范围，所以他的r(A)就是dimR，并且一组值域的基就是A的极大无关组。
$K(f)$ 的计算:按照定义满足 $Ax=\theta$ ，所以只要找基础解系即可。 $dimK(f) = dimV - r(A)$

维度定理

$dimK + dim R = dim V$

维度定理的推论

不变子空间

如果在原空间中存在一个子空间，对线性映射是封闭的，那他就是不变子空间。V可以被分解为不变子空间的直和。进一步简化矩阵表示。因为直和的话子空间的基直接并就是原空间的基。

$R(f) K(f)$ 都是不变子空间。

1 线性空间