广义逆矩阵

motivation

不是方阵、不满秩，还不能求逆了？

definition

A和G是复数域矩阵（不一定方，但G的形状和A转置一样），如果满足下面4条件，则$G$是$A$的广义逆矩阵。

• $AGA = A$
• $GAG = G$
• $(AG)^H = AG$
• $(GA)^H = GA$

性质定理

• 若$A$可逆，则$A^{-1}=G$
• 若$A=O$，则$G=O$
• G必然存在且唯一
• $(A^HA)^+=A^+(A^H)^+$
• $(AA^H)^+=(A^H)^+A^+$
• $A^+ = (A^HA)^+A^H = A^H(AA^H)^+$
• U,V酉矩阵，则$(UAV)^+=V^HA^+U^H$
• $A^+AB=A^+AC \Leftrightarrow AB=AC$

计算

先把$A$满秩分解$A=BC$

之后$A^+=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$

应用

线性方程组$Ax=b$无解，如何求近似解？

方法是求最小二乘解，这个之前推过$A^HAx=A^Hb$

长度最小的称为极小最小二乘解

他的通解是$x = A^+b + (I-A^+A)y, \forall y \in C^n$

其中$A^+b$是唯一的极小最小二乘解