Hermit 二次型

Hermit矩阵

对于复数变量$X$ $f(X)=X^HAX=\sum a_{ij}\bar{x_i} x_j$

可以证明$f\in R \Leftrightarrow A^H=A$，满足$A^H=A$的矩阵为Hermit矩阵，$f$为Hermit二次型。

性质

• 特征值均是实数
• 属于不同特征值的特征向量相互正交
• 对H阵，一定存在酉矩阵，使得$U^HAU$是对角阵

说明1：性质3 说明Hermit矩阵是一类非常好的矩阵，一个普通矩阵只是相似对角化都很费劲，可能只能变成一个Jordan型，但是Hermit矩阵不仅一定可以相似对角化，并且这个变换的矩阵还是一个酉矩阵

说明2：性质3的另一个说法为：Hermit矩阵可被酉对角化，其实从后面正规矩阵的定义可以看出，一个可以被酉对角化的矩阵是正规矩阵，因此Hermit矩阵是正规矩阵。

回顾：酉矩阵
定义：$A^HA=I$
判定（等价）方法：

• $A^{-1}=A^H$
• $A$的行/列向量组是标准正交基

性质：$A,B$是同阶酉矩阵，$AB$也是酉矩阵

定理：

• $\alpha_i$是一组标准正交基，$\gamma_i = \alpha_i U$，$\gamma_i$是标准正交基$\Leftrightarrow U$是酉矩阵
• 子空间的标准正交基可以被扩充成全空间的标准正交基。

正规矩阵

定义：$A^HA=AA^H$

例子：Hermit、酉矩阵、反H矩阵（$A^H=-A$）

性质：

• 正规阵$\Leftrightarrow$酉相似于对角阵($A=U\Lambda U^H$)。(注意酉相似=普通相似+共轭合同，对角阵是特征值)
• 正规阵$\Leftrightarrow$ 有n个相互正交的单位特征向量
• 正规阵相似$\Leftrightarrow$ 具有相同的特征多项式

酉变换

求特征值和特征向量，然后正交化，排列形成酉矩阵。

共轭合同

若有可逆阵$C$,使得$B=C^HAC$，则A和B共轭合同，A是Hermit矩阵。

如果B是一个对角阵，那B是A的hermit标准型

存在性：一定存在（配方法）

唯一性：不唯一，但是正负惯性指数不变（正负系数的数量），正负惯性指数求和=秩

所以更进一步，从Hermit标准型可以化成规范型，使得对角线按照+1，+1，..-1，-1，...0，0排列。

计算方法：配方，然后看线性变换

到这里捋一捋各类变换的关系

• 等价变换：$B=PAQ$
• 相似变换：$B=P^{-1}AP$
• （共轭）合同变换：$B=C^HAC$ $C$可逆，任何对称矩阵可以合同变换对角化
• 酉（正交）变换：$B=C^HAC$ 其中$C^{-1}=C^H$。任何Hermit（实对称）矩阵可以被酉（正交）变换对角化

正定性

共轭合同是保持正定性的、半正定

正定（半正定）$\Leftrightarrow$特征值全是正数（非负数）$\Leftrightarrow$A与I共轭合同（与$diag(I,O)$共轭合同）$\Leftrightarrow$存在可逆阵st $A=P^HP$（存在矩阵P不要求可逆）$\Leftrightarrow$各顺序主子式>0 (各主子式，注意不是顺序主子式$\ge0$)

如果合同到对角阵：正定$\Leftrightarrow$正惯性指数=n

负定的判断，看-A是不是正定

Relegih商

motivation：特征多项式不好求、特征值不好求。

退一步，只求出特征值的最大值和最小值

$R(X)=\frac{X^HAX}{X^HX}$

对于Hermit矩阵特征值的最小值和最大值分别是R(X)的最小值和最大值。注意$X\ne \theta$