线性代数

1. 两种语言 我们：标准基 $\mathbf{i}=(1,0), \mathbf{j}=(0,1)$ 朋友 A：基 $\mathbf{b}_1=(2,1), \mathbf{b}_2=(-1,1)$

一、基本概念 1.1 定义 设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得： $$ B = P^{-1}AP $$ 则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A \si

一、直观理解：什么是特征值、特征向量？ 设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵。 对向量 $\boldsymbol{x}$ 做线性变换 $A\boldsymbol{x}$，一般情况下： 向量会旋转 向量会

下面来系统讲解向量的内积、长度（模）和正交性。这是线性代数中从“代数运算”走向“几何度量”的关键一步，也是理解正交矩阵、最小二乘法、傅里叶级数等高级内容的基础。 一、内积（点积 / 数量积） 1. 定

一、线性相关的定义回顾 对于矩阵 $A = (\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \ldots, \mathbf{c}_n)$（$\mathbf{c}_j$ 是列向量），列向量组线

列空间以及秩以及零空间 列空间、秩、零空间是线性代数中理解矩阵“行为”的三大核心概念。它们分别描述了： 列空间（Column Space）：矩阵能把向量“映射到哪里”？ 秩（Rank）：这个映射能覆盖

线性方程组通用解法归纳 设线性方程组标准形式：$\boldsymbol A_{m\times n}\boldsymbol x = \boldsymbol b$ $\boldsymbol b\ne \b

一、矩阵的初等变换 矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换，二者是对偶的。通常我们更常用行变换，因为它与线性方程组的同解变形对应。 1. 三种初等行变换 设矩阵 $A$ 有 $m$ 行，则： 交换两

1.逆矩阵的定义 对于一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，如果存在另一个 $n \times n$ 的方阵 $B$，使得： $$AB = BA = I_n(E)$$ 其中 $I_n(或者叫

这是一个经典的线性代数命题。我们需要证明：对于实矩阵 $A$（元素均为实数），$A = O$（零矩阵）的充分必要条件是 $A^T A = O$。 注意：此命题通常针对实矩阵成立。如果是复矩阵，条件应改

矩阵分块法（详细讲解） 矩阵分块，就是把一个大矩阵用横线、竖线切成若干个“小矩阵块”，把每个块当作一个“元素”来运算。 它的核心作用： 简化大矩阵运算 揭示矩阵结构（对角块、分块对角、分块上三角） 方

克拉默法则（Cramer's Rule） 是线性代数中一个用于求解线性方程组的定理。它利用**行列式（Determinant）**来表示方程组的解。 虽然在实际的大规模计算中（如计算机算法），克拉默法

1. 矩阵多项式的定义 设 $$ \varphi(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m $$ 是一个 $m$ 次多项式，$A$ 是一个 $n$ 阶方阵，那么 $$ \

1. 矩阵加法 1.1 定义 设 $A = (a_{ij}){m \times n}$ 和 $B = (b{ij}){m \times n}$ 是两个同型矩阵（行数和列数分别相等），则它们的和 $C

1. 先分清：齐次 vs 非齐次 线性方程组 设未知数：$x_1,x_2,\dots,x_n$ 1.1齐次线性方程组 右边全是 0 $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12

1.引子 行列式的代数定义为： $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}

1.n阶行列式的定义 n 阶行列式： $$ D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \v

1.排列及其逆序数 教材定义： 把n个不同的元素排成一列,叫做这n 个元素的全排列(也简称排列) 对于 n 个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如n 个不同的自然数,可规定由小到大为标准次

1.引子 讲解行列式之前，我们先引入矩阵，向量，线性变换等概念。本章节先大概讲解涉及的概念，后续章节会单独补充线性变换等章节。 1.1 向量 1)向量基本性质总结 运算 代数形式 几何意义 关键性质