第二章矩阵-3.1逆矩阵_矩阵多项式的定义

涂兵兵_青石疏影
7 阅读2分钟

1. 矩阵多项式的定义

设

φ(x)=a0+a1x+⋯+amxm\varphi(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m

是一个 mm 次多项式，AA 是一个 nn 阶方阵，那么

φ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm\varphi(A) = a_0 E + a_1 A + \cdots + a_m A^m

称为 矩阵 AA 的 mm 次多项式，其中 EE 是单位矩阵。

2. 矩阵多项式的交换性

因为 AkA^k、AiA^i 和 EE 之间都是可交换的（毕竟它们都是 AA 的幂），所以对于两个多项式 φ(A)\varphi(A) 和 f(A)f(A)，有：

φ(A)f(A)=f(A)φ(A)\varphi(A) f(A) = f(A) \varphi(A)

也就是说，同一个矩阵的不同多项式之间是可交换的。

这样，我们可以像处理普通多项式一样对矩阵多项式进行因式分解、展开等运算。例如：

(E+A)(2E−A)=2E+A−A2(E + A)(2E - A) = 2E + A - A^2
(E−A)3=E−3A+3A2−A3(E - A)^3 = E - 3A + 3A^2 - A^3

3. 如何计算矩阵多项式

计算 AkA^k 通常比较麻烦，但如果我们能将 AA 对角化，就可以大大简化计算。

3.1 若 A=PΛP−1A = P \Lambda P^{-1}，其中 Λ\Lambda 是对角矩阵

那么：

Ak=PΛkP−1A^k = P \Lambda^k P^{-1}

于是：

φ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm\varphi(A) = a_0 E + a_1 A + \cdots + a_m A^m

代入得：

φ(A)=Pa0EP−1+Pa1ΛP−1+⋯+PamΛmP−1\varphi(A) = P a_0 E P^{-1} + P a_1 \Lambda P^{-1} + \cdots + P a_m \Lambda^m P^{-1}
=P(a0E+a1Λ+⋯+amΛm)P−1= P \big( a_0 E + a_1 \Lambda + \cdots + a_m \Lambda^m \big) P^{-1}
=Pφ(Λ)P−1= P \varphi(\Lambda) P^{-1}

3.2 若 Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)，则：

Λk=diag(λ1k,λ2k,…,λnk)\Lambda^k = \text{diag}(\lambda_1^k, \lambda_2^k, \dots, \lambda_n^k)

从而：

φ(Λ)=diag(φ(λ1),φ(λ2),…,φ(λn))\varphi(\Lambda) = \text{diag}(\varphi(\lambda_1), \varphi(\lambda_2), \dots, \varphi(\lambda_n))

这意味着：对角矩阵的多项式，就是对角元分别代入多项式得到的对角矩阵。

4. 例题解析

题目给出了：

P=(−11110211−1),Λ=(12−3),AP=PAP = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad \Lambda = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 2 & \\ & & -3 \end{pmatrix},\quad AP = PA

且

φ(A)=A3+2A2−3A\varphi(A) = A^3 + 2A^2 - 3A

4.1 由 AP=PAAP = PA 且 PP 可逆，得：

A=PΛP−1A = P \Lambda P^{-1}

于是：

φ(A)=Pφ(Λ)P−1\varphi(A) = P \varphi(\Lambda) P^{-1}

4.2 计算 φ(λi)\varphi(\lambda_i)

φ(1)=13+2⋅12−3⋅1=1+2−3=0\varphi(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 + 2 - 3 = 0
φ(2)=8+8−6=10\varphi(2) = 8 + 8 - 6 = 10
φ(−3)=−27+18+9=0\varphi(-3) = -27 + 18 + 9 = 0

因此：

φ(Λ)=diag(0,10,0)\varphi(\Lambda) = \text{diag}(0, 10, 0)

4.3 计算 φ(A)\varphi(A)

由 PP 的行列式 ∣P∣=6≠0|P| = 6 \neq 0，说明 PP 可逆。

先计算：

Pφ(Λ)=(−11110211−1)(0000100000)=(01000000100)P \varphi(\Lambda) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix}

然后乘 P−1P^{-1}：

P−1=1∣P∣⋅adj(P)=16(A11A21A31A12A22A32A13A23A33)P^{-1} = \frac{1}{|P|} \cdot \text{adj}(P) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}

根据给出的部分计算：

A12=3,A22=0,A32=3A_{12} = 3,\quad A_{22} = 0,\quad A_{32} = 3

（其余元素未全部写出，但计算最终只依赖这些）

最终得到：

φ(A)=53(A12A22A32A13A23A33A12A22A32)\varphi(A) = \frac{5}{3} \begin{pmatrix} A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \end{pmatrix}

代入得：

φ(A)=(101000101)\varphi(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

5. 总结

图片的核心思想是：

  • 矩阵多项式可以像普通多项式一样运算；
  • 若 AA 可对角化 A=PΛP−1A = P\Lambda P^{-1}，则计算 φ(A)\varphi(A) 转化为计算 φ(Λ)\varphi(\Lambda)，再相似变换回来；
  • 对角矩阵的多项式非常简单，就是每个对角元代入多项式得到的新对角矩阵；
  • 这种方法大大简化了矩阵多项式的计算，尤其在计算高次幂时效果显著。

6.参考文献

本文参考AI回答，豆包，Deepseek,千问

avatar
文章
阅读
粉丝