第一章行列式4.行列式性质

涂兵兵_青石疏影
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1.引子

行列式的代数定义为：

det⁡(A)=∑σ∈Snsgn(σ)∏i=1nai,σ(i)\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}
  • SnS_n 是所有 1,2,…,n1, 2, \dots, n 的排列（置换）的集合。
  • σ\sigma 是其中一个排列，σ(i)\sigma(i) 表示第 ii 行选取的列标。
  • sgn(σ)\text{sgn}(\sigma) 是排列 σ\sigma 的符号（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
sgn(σ)={+1,如果 σ 是偶排列−1,如果 σ 是奇排列 \mathrm{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1, & \text{如果 }\sigma \text{ 是偶排列} \\ -1, & \text{如果 }\sigma \text{ 是奇排列} \end{cases}
  • ∏i=1nai,σ(i)\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} 表示从每一行选取一个元素，且列标互不相同的乘积。也即如下：
det⁡(A)=∑σ∈Snsgn(σ)⋅a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)}
  • σ\sigma 是排列，也即j1j2⋯jnj_1j_2\cdots j_n，sgn(σ)\text{sgn}(\sigma) 是排列 σ\sigma 的符号也即(−1)τ(j1j2⋯jn)(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}
D=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn) a1j1a2j2⋯anjn\boxed{D=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\,a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}}
  • τ(排列)\tau(\text{排列}) 或直接说“逆序数”

2.性质1： 行列式与它的转置行列式相等

设有n阶行列式：

D=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)D = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

把所有行换成对应列（第1行变第1列，第2行变第2列……），得到的新行列式叫D的转置行列式，记作DTD^T：

DT=(a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1na2n⋯ann)D^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

行列式与它的转置行列式相等，D=DT\boldsymbol{D = D^T}

1.简单证明

  • 每一项的符号由排列的逆序数奇偶性决定，即 sgn(σ)=(−1)inv(σ)\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}。

    • inv(σ)\text{inv}(\sigma) 表示排列σ\sigma 的 逆序数（英文：number of inversions）。

在 det⁡(A)\det(A) 中，一项的形式是 a1,σ(1)a2,σ(2)⋯an,σ(n)a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)}，其符号取决于列标排列 σ(1),σ(2),…,σ(n)\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n) 的逆序数。

在 det⁡(AT)\det(A^T) 中，对应项变为 aσ(1),1aσ(2),2⋯aσ(n),na_{\sigma(1),1} a_{\sigma(2),2} \cdots a_{\sigma(n),n}，此时行标为 σ(1),σ(2),…,σ(n)\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n)，列标为标准顺序 1,2,…,n1,2,\ldots,n。

这时我们按行展开(行标全排列,按列取数)，行标的排列 σ\sigma 的逆序数与原列标排列完全相同。

2.行列式及其转置行列式定义公式的结构是怎么样的？

2.1 标准定义的结构

D=det⁡(A)=∑σ∈Snsgn(σ)⋅a1,σ(1)⋅a2,σ(2)⋯an,σ(n)D = \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1, \sigma(1)} \cdot a_{2, \sigma(2)} \cdots a_{n, \sigma(n)}

请看每一项 a1,σ(1)⋅a2,σ(2)⋯a_{1, \sigma(1)} \cdot a_{2, \sigma(2)} \cdots 的下标规律：

  • 行标（第一个数字）：是 1,2,…,n1, 2, \dots, n。
    • 它是固定的，按自然顺序排列（第1行、第2行……第n行）。
    • 这意味着我们强制要求每一行必须取且仅取一个元素。
  • 列标（第二个数字）：是 σ(1),σ(2),…,σ(n)\sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n)。
    • 它是变化的，是 1,2,…,n1, 2, \dots, n 的一个排列。
    • 这意味着我们在每一行里，去挑选不同列的元素。

结论： 在标准定义中，我们是在遍历所有可能的“列的选择方案”。 所以，更准确的说法是：“按行取数，列标全排列”。 并不是“列展开”（“列展开”通常指拉普拉斯展开定理中的按某一行或某一列展开计算，那是另一种计算方法，不是定义）。

2.2 对比 det⁡(AT)\det(A^T) 的情况

当你转置后，情况反过来了：

DT=det⁡(AT)=∑π∈Snsgn(π)⋅(AT)1,π(1)⋯=∑π∈Snsgn(π)⋅aπ(1),1⋅aπ(2),2⋯aπ(n),nD^T = \det(A^T) = \sum_{\pi \in S_n} \text{sgn}(\pi) \cdot (A^T)_{1, \pi(1)} \cdots = \sum_{\pi \in S_n} \text{sgn}(\pi) \cdot a_{\pi(1), 1} \cdot a_{\pi(2), 2} \cdots a_{\pi(n), n}

请看这里的下标：

  • 列标（第二个数字）：是 1,2,…,n1, 2, \dots, n。
    • 它是固定的（第1列、第2列……）。
  • 行标（第一个数字）：是 π(1),π(2),…\pi(1), \pi(2), \dots。
    • 它是变化的，是排列。

结论： 在 det⁡(AT)\det(A^T) 的定义式中，看起来像是**“按列取数，行标全排列”**。

“在 det⁡(A)\det(A) 中，是列展开的是吗？”

  • 如果是指定义公式的结构：是的，它的变量核心在于列标的排列（行标被固定为自然序）。你可以理解为它是通过对“列的所有可能排列”进行求和得到的。
  • 如果是指计算方法（拉普拉斯展开）：不是。行列式既可以按行展开，也可以按列展开，结果一样。但在定义层面，通常写成“固定行，排列列”。

正是这种**“行固定列排列”与“列固定行排列”**的完美对称性，导致了 det⁡(A)=det⁡(AT)\det(A) = \det(A^T)。

3. 性质2：对换行列式的两行(列),行列式变号

行列式的代数定义为：

det⁡(A)=∑σ∈Snsgn(σ)⋅a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}

其中 sgn(σ)=(−1)inv(σ)\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}，由排列 σ\sigma 的逆序数奇偶性决定。

  • 设原行列式为 DD，交换第 ii 行与第 jj 行后得到新行列式 D′D'。
  • 在 D′D' 中，原来第 ii 行的元素现在在第 jj 行，反之亦然。
  • 对应的每一项变为：a1σ(1)⋯ajσ(i)⋯aiσ(j)⋯anσ(n)a_{1\sigma(1)} \cdots a_{j\sigma(i)} \cdots a_{i\sigma(j)} \cdots a_{n\sigma(n)}，即行索引发生了交换。

设交换第 i,ji,j 行后的矩阵为 BB，则：

B={bkℓ=akℓ,k≠i,jbiℓ=ajℓbjℓ=aiℓB= \begin{cases} b_{k\ell}=a_{k\ell},&k\neq i,j\\ b_{i\ell}=a_{j\ell}\\ b_{j\ell}=a_{i\ell} \end{cases}
  • ℓ列下标(1...n)\ell列下标(1...n)

写出 det⁡(B)\det(B)：

det⁡(B)=∑σsgn⁡(σ)  ⋯ajσ(i)⋯aiσ(j)⋯⏟只有第i,j行位置互换\det(B)=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\; \underbrace{\cdots a_{j\sigma(i)}\cdots a_{i\sigma(j)}\cdots}_{\text{只有第}i,j\text{行位置互换}}

交换两行，其实本质对应列下标排列做一次对换，反向证明这一结论：

交换两行恢复标准形式，需要把行下标重新按顺序 1,…,n1,\dots,n 排好：

  • 原来第 ii 行取的是 ajσ(i)a_{j\sigma(i)}
  • 原来第 jj 行取的是 aiσ(j)a_{i\sigma(j)}

要恢复标准形式 a1∙⋯an∙a_{1\bullet}\cdots a_{n\bullet}， 等价于： 把列下标排列 σ\sigma 里的 σ(i)\sigma(i) 与 σ(j)\sigma(j) 对换， 得到新排列 σ′\sigma'。

由对换性质(一次对换（交换两个数），会改变排列的奇偶性)：

sgn⁡(σ′)=−sgn(σ)⁡\operatorname{sgn}(\sigma')=-\operatorname{sgn(\sigma)}

于是：

det⁡(B)=∑σsgn⁡(σ)⋅(对应项)=∑σ′−sgn⁡(σ′)⋅(标准项)=−det⁡(A)\det(B) =\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot(\text{对应项}) =\sum_{\sigma'}-\operatorname{sgn}(\sigma')\cdot(\text{标准项}) =-\det(A)
  • 所以每一项符号取反，整体有 D′=−DD' = -D。

✅ 结论：由于所有项的符号都反转，故行列式变号。

一句话极简证明

交换两行 ⇔ 对应列下标排列做一次对换 ⇔ 逆序数奇偶性翻转 ⇔ 每一项的 sgn⁡\operatorname{sgn} 都变号 ⇔ 整个行列式整体变号。

3.1 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零

简单证明

把这两行对换，有D=−D,故D=0 D=-D,故 D=0

4. 性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数 ,等于用数乘此行列式

公式：

∣a11a12a13ka21ka22ka23a31a32a33∣=k⋅∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = k\cdot\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

推广到n阶：

det⁡[r1⋮kri⋮rn]=kdet⁡[r1⋮ri⋮rn]\det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ k\mathbf{r}_i \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right] = k \det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{r}_i \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right]

即某一行乘以常数 k，行列式变为 k 倍

kdet⁡(A)=det⁡[r1⋮kri⋮rn]k\det(A) =\det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ k\mathbf{r}_i \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right]

通俗理解

体积在某一维上拉伸 k 倍，整体体积变为 k 倍。

注意：若整个矩阵乘以 k，则每行都乘 k，所以

det⁡(kA)=kndet⁡(A)\det(kA) = k^n \det(A)

也即是，一行整体放大k倍，整个行列式就放大k倍；只能一行一行提，不能全阵一起提。如果全阵可以一起提，则是先每行乘以k，放大knk^n倍。

证明

展开式中，每一项恰好从这一行取一个元素，每一项都多一个因子k，把k提出求和号外，就是k⋅Dk\cdot D。

用途

  1. 提公因子：一行有公约数，先提出来简化计算；
  2. 反过来：要凑整系数，可以把k乘进去某一行。

4.1 推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

从第 ii 行提公因子 kk 后，剩余部分记作 ri/kr_i/k，于是
det⁡(…,ri,… )=k⋅det⁡(…,ri/k,… )\det(\dots, r_i, \dots) = k \cdot \det(\dots, r_i/k, \dots)。

det⁡(某一行乘以 k)=kdet⁡(A)\boxed{\det(\text{某一行乘以 }k) = k \det(A)}
det⁡(某一列乘以 k)=kdet⁡(A)\boxed{\det(\text{某一列乘以 }k) = k \det(A)}

5 性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零

这个性质是行列式理论中非常核心的一个结论。我们可以利用前面已经证明的两个性质来快速、严谨地证明它。

已知前提

我们需要用到之前讨论过的两个性质：

  1. 公因子提取性质：行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式外面。 det⁡(…,kri,… )=k⋅det⁡(…,ri,… )\det(\dots, k\mathbf{r}_i, \dots) = k \cdot \det(\dots, \mathbf{r}_i, \dots)
  2. 对换变号性质：交换行列式的两行（列），行列式变号。 若交换第 i,j 行，则 D′=−D\text{若交换第 } i, j \text{ 行，则 } D' = -D 推论：如果行列式有两行完全相同，则行列式为 0。

    简要回顾“两行相同则为0”的证明： 设 DD 有两行相同。交换这两行，行列式变为 D′D'。 因为两行内容一样，交换后矩阵没变，所以 D′=DD' = D。 因为交换两行要变号，所以 D′=−DD' = -D。 综上：D=−D  ⟹  2D=0  ⟹  D=0D = -D \implies 2D = 0 \implies D = 0。

证明过程

假设： 设 nn 阶行列式 DD 中，第 ii 行和第 jj 行（i≠ji \neq j）的元素成比例。 即存在一个常数 kk (k≠0k \neq 0)，使得第 ii 行的每一个元素都是第 jj 行对应元素的 kk 倍： ai1=k⋅aj1,ai2=k⋅aj2,…,ain=k⋅ajna_{i1} = k \cdot a_{j1}, \quad a_{i2} = k \cdot a_{j2}, \quad \dots, \quad a_{in} = k \cdot a_{jn} (注：如果 k=0k=0，则第 ii 行全为0，根据定义行列式直接为0，无需证明。这里主要讨论 k≠0k \neq 0 的情况)

步骤 1：提取公因子 根据公因子提取性质，我们可以将第 ii 行的公因子 kk 提到行列式记号的外面：

D=∣⋮k⋅aj1k⋅aj2⋯k⋅ajn⋮aj1aj2⋯ajn⋮∣=k⋅∣⋮aj1aj2⋯ajn⋮aj1aj2⋯ajn⋮∣D = \begin{vmatrix} \vdots \\ k \cdot a_{j1} & k \cdot a_{j2} & \cdots & k \cdot a_{jn} \\ \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots \end{vmatrix} = k \cdot \begin{vmatrix} \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots \end{vmatrix}

步骤 2：观察新行列式 提取 kk 之后，剩下的行列式内部：

  • 第 ii 行变成了：aj1,aj2,…,ajna_{j1}, a_{j2}, \dots, a_{jn}
  • 第 jj 行原本是：aj1,aj2,…,ajna_{j1}, a_{j2}, \dots, a_{jn}

此时，这个新行列式中有两行完全相同（第 ii 行和第 jj 行完全一样）。

步骤 3：应用“两行相同则为0”的结论 根据前述推论，如果有两行完全相同，该行列式的值为 0。 令这个新行列式为 DsameD_{same}，则 Dsame=0D_{same} = 0。

步骤 4：得出结论 代回原式：

D=k⋅Dsame=k⋅0=0D = k \cdot D_{same} = k \cdot 0 = 0

几何直观理解

如果把行列式的每一行看作空间中的一个向量：

  • 行列式的值代表这些向量张成的平行多面体的有向体积。
  • “两行成比例”意味着这两个向量是共线的（方向相同或相反）。
  • 如果你试图用两个共线的向量去构建一个多维立体（比如在3维空间中，两个边在一条直线上），那么这个立体就会“塌缩”成一个低维图形（比如压扁成一个平面或一条线）。
  • 塌缩后的图形在高维空间中的体积为 0。

总结

证明逻辑链条： 两行成比例 →提公因子\xrightarrow{\text{提公因子}} 两行相同 →交换变号推导\xrightarrow{\text{交换变号推导}} 结果为 0。

证毕。

6 性质5：某一行（列）是两数之和，行列式可拆成两个行列式相加

若第i行元素为bj+cjb_{j}+c_{j}，则：

∣a11a12a13b21+c21b22+c22b23+c23a31a32a33∣=∣a11a12a13b21b22b23a31a32a33∣+∣a11a12a13c21c22c23a31a32a33∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ b_{21}+c_{21}&b_{22}+c_{22}&b_{23}+c_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}

推广到n阶

设第 i 行向量拆成 u+v\mathbf{u} + \mathbf{v}，则

det⁡[r1⋮u+v⋮rn]=det⁡[r1⋮u⋮rn]+det⁡[r1⋮v⋮rn]\det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{u}+\mathbf{v} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right] = \det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{u} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right] + \det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{v} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right]

（其它行保持不变）

通俗理解

只有一行拆和，其他行完全照搬，不能把整个行列式“劈成两半”。

几何解释：体积在固定其他维的情况下，在某一维方向上是线性叠加的。

证明

展开式每一项取自这一行的元素是b+cb+c，按分配律拆成两项求和，恰好对应两个行列式。

用途

  1. 含变量、分段函数的行列式拆分；

  2. 证明线性相关、线性性质；

  3. 复杂元素拆成简单部分分别计算。

7. 性质6：把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变

表述：将第jj行的kk倍，加到第ii行（i≠ji\neq j），行列式不变。也可以说i行-kk倍的第jj行

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21+ka11a22+ka12a23+ka13a31a32a33∣\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+ka_{11}&a_{22}+ka_{12}&a_{23}+ka_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}

通俗理解

这就是行列式版的消元法，像解方程组一样消掉元素，造出大量0，还不改变值。

几何解释：平行四边形的底边不变，高不变，面积不变（剪切变换）

证明（用性质5+性质3+性质4）

把新行拆成原行+kk倍另一行(性质3)，得到两个行列式(性质5)：

  • 第一个是原行列式；
  • 第二个有两行成比例，由性质4得0； 总和 = 原行列式 + 0 = 原行列式。

也即：

det⁡[r1⋮ri+krj⋮rj⋮rn]=det⁡[r1⋮ri⋮rj⋮rn]\det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{r}_i + k\mathbf{r}_j \\ \vdots \\ \mathbf{r}_j \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right] = \det\left[\begin{array}{c} \mathbf{r}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{r}_i \\ \vdots \\ \mathbf{r}_j \\ \vdots \\ \mathbf{r}_n \end{array}\right]

证明：
由性质 5 和性质 3：

左边=det⁡(…,ri,… )+kdet⁡(…,rj,… )\text{左边} = \det(\dots, \mathbf{r}_i, \dots) + k\det(\dots, \mathbf{r}_j, \dots)

再由性质4可得

左边=det⁡(…,ri,… )+kdet⁡(…,rj,… )=det⁡(…,ri,… )+0=det⁡(…,ri,… )=右边\text{左边} = \det(\dots, \mathbf{r}_i, \dots) + k\det(\dots, \mathbf{r}_j, \dots) = \det(\dots, \mathbf{r}_i, \dots) + 0 = \det(\dots, \mathbf{r}_i, \dots) = \text{右边}

用途（核心中的核心）

  1. 高阶行列式快速化简：用倍加变换把行列式化成上三角行列式（左下全0），上三角行列式值 = 主对角线元素乘积；
  2. 几乎所有手动计算行列式，都优先用这条性质造0；
  3. 不改变行列式大小，只改变形状，安全消元。

重要结论：上/下三角行列式

上三角（左下全0）、下三角（右上全0）行列式：

∣a11a12a130a22a2300a33∣=a11a22a33\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&a_{22}&a_{23}\\ 0&0&a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}

证明：展开式只有列标为自然排列123这一项非0，其余含0元素的项都是0。

实例：用性质6化上三角计算

D=∣111123136∣D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{vmatrix}

行2 - 行1(也即- 行1+行2)，行3 - 行1（倍加，值不变）：

D=∣111012025∣D=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{vmatrix}

行3 - 2×行2(也即-2×行2+行3)：

D=∣111012001∣=1×1×1=1D=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\times1\times1=1

8.参考文献

本文参考AI回答，豆包，Deepseek,千问

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