第四章相似矩阵-2.特征值与特征向量

涂兵兵_青石疏影
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一、直观理解：什么是特征值、特征向量？

设 AA 是一个 nn 阶方阵。

对向量 x\boldsymbol{x} 做线性变换 AxA\boldsymbol{x}，一般情况下：

  • 向量会旋转
  • 向量会伸缩
  • 方向一般会变

但有一些特殊向量，被 AA 作用后只伸缩、不旋转，方向保持不变（或反向）。 这些特殊向量就是特征向量，伸缩的倍数就是特征值。

二、严格数学定义

设 AA 是 nn 阶方阵，如果存在数 λ\lambda 和 非零向量 x\boldsymbol{x}，使得：

Ax=λxA\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}

就称：

  • λ\lambda 为矩阵 AA 的特征值
  • x\boldsymbol{x} 为矩阵 AA 对应于特征值 λ\lambda 的特征向量

注意：

  1. x\boldsymbol{x} 必须非零
  2. 只有方阵才有特征值/特征向量

三、特征方程与特征多项式（求特征值的核心）

把定义式移项：

Ax−λx=0A\boldsymbol{x}-\lambda \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
(A−λI)x=0(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

这是一个齐次线性方程组。 它要有非零解的充要条件是：

det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
  • I是单位矩阵

这个方程就叫：

  • 特征方程 左边的多项式 ∣λI−A∣|\lambda I - A| 叫：
  • 特征多项式

步骤总结（求特征值）

  1. 构造矩阵 A−λIA-\lambda I
  2. 求行列式 det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
  3. 解这个关于 λ\lambda 的方程，得到所有特征值

四、求特征向量

对每个特征值 λi\lambda_i，解齐次方程组：

(A−λiI)x=0(A-\lambda_i I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

它的非零解就是对应 λi\lambda_i 的全部特征向量。

基础解系的线性组合（不全为0）就是所有特征向量。

五、几何意义（非常关键）

  • AA 代表一个线性变换（旋转、拉伸、剪切）
  • 特征向量 x\boldsymbol{x}：变换下方向不变的向量
  • 特征值 λ\lambda：对该方向的伸缩因子
    • λ>1\lambda>1：拉长
    • 0<λ<10<\lambda<1：缩短
    • λ<0\lambda<0：反向拉伸
    • λ=0\lambda=0：压缩到零向量（该方向被压扁）

六、一个完整小例子（2阶方阵）

求 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 的特征值与特征向量

解：

  1. 特征方程：
∣2−λ112−λ∣=(2−λ)2−1=λ2−4λ+3=0\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0

得 λ1=3,λ2=1\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1

  1. 求 λ1=3\lambda_1 = 3 的特征向量：
(A−3E)α=(−111−1)(x1x2)=0(A - 3E)\alpha = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

得 x1=x2x_1 = x_2，基础解系 (11)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}，特征向量为 k(11),k≠0k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, k \neq 0

  1. 求 λ2=1\lambda_2 = 1 的特征向量：
(A−E)α=(1111)(x1x2)=0(A - E)\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0

得 x1=−x2x_1 = -x_2，基础解系 (1−1)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}，特征向量为 k(1−1),k≠0k\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, k \neq 0

七、重要性质（考试/应用必背）

设 AA 为 nn 阶方阵，特征值 λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n

7.1 基本性质

  1. 迹与行列式：
  • 迹是方阵主对角线元素之和。
    • tr(A)=λ1+λ2+⋯+λn\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n(迹=特征值之和)
    • det⁡(A)=λ1λ2⋯λn\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n(积=行列式)

  1. 转置：AA 与 ATA^T 有相同的特征值

  2. 逆矩阵：若 AA 可逆，λ≠0\lambda \neq 0，则 A−1A^{-1} 的特征值为 1/λ1/\lambda，特征向量相同

  3. 幂运算：AkA^k 的特征值为 λk\lambda^k，特征向量相同

  4. 多项式：f(A)f(A) 的特征值为 f(λ)f(\lambda)，特征向量相同

7.2 不同特征值对应的特征向量

定理：属于不同特征值的特征向量线性无关

推论：若 nn 阶方阵有 nn 个互异特征值，则必有 nn 个线性无关的特征向量

7.3 代数重数与几何重数

  • 代数重数：特征值作为特征多项式根的重数
  • 几何重数：对应特征值 λ\lambda 的特征子空间的维数，即 (A−λE)x=0(A-\lambda E)x=0 的基础解系中向量个数

关系：1≤几何重数≤代数重数1 \leq \text{几何重数} \leq \text{代数重数}

八、特殊方阵的特征值

8.1 实对称矩阵

  • 特征值都是实数
  • 不同特征值对应的特征向量正交
  • 必可正交对角化

8.2 正交矩阵 QT=Q−1Q^T = Q^{-1}

  • 特征值的模长为 1（即 ∣λ∣=1|\lambda|=1）
  • 实特征值只能是 1 或 -1

8.3 幂等矩阵 A2=AA^2 = A

  • 特征值只能是 0 或 1

8.4 幂零矩阵 Ak=0A^k = 0

  • 所有特征值均为 0

8.5 上/下三角矩阵

  • 特征值即对角线元素

九、应用

9.1 矩阵对角化

若 AA 有 nn 个线性无关的特征向量，则存在可逆矩阵 PP 使：

P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)

9.2 微分方程组

解 dxdt=Ax\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x} 时，特征值决定系统稳定性

十、一句话总结

  • 特征向量：变换中方向不变的向量
  • 特征值：该方向上的伸缩倍数
  • 求法：行列式=0 求 λ\lambda → 解齐次方程求 x\boldsymbol{x}
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