第一章行列式-3.n阶行列式1.n阶行列式的定义 n 阶行列式： $$ D=\begin{vmatrix} a_{11}

1.n阶行列式的定义

n 阶行列式：

D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

正式定义公式：

\boxed{D=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\,a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}}

从每一行、每一列各取一个数相乘，得到一项： $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
所有这样的取法一共有 n! 项（n的阶乘）。
每一项前面的正负号，由列下标排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数奇偶决定：
- 偶排列 → $+$
- 奇排列 → $-$
把这 n! 项加起来，就是 n 阶行列式。

1.1 这个公式怎么用？（举小例子你立刻懂）

1.1.1 阶行列式（n=2）

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} =ad - bc

按定义：

列排列：12（偶）→ +ad
列排列：21（奇）→ -bc 加起来就是：ad - bc

1.1.2 阶行列式（n=3）

\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}

一共 6 项：

\begin{aligned} =&\ a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32}\\ -&\ a_{13}a_{22}a_{31} -&\ a_{12}a_{21}a_{33} -&\ a_{11}a_{23}a_{32} \end{aligned}

正负就是看列排列的奇偶。

1.2 但真正做题不会用定义硬算！

n 大一点（比如 4 阶、5 阶）， n! 项爆炸式增长，根本算不完。

真正通用、实用的计算方法只有 2 个：

方法1：化为上三角行列式（最常用）

利用行变换：

某一行 × k 加到另一行把行列式变成：

\begin{vmatrix} *&*&*&*\\ 0&*&*&*\\ 0&0&*&*\\ 0&0&0&* \end{vmatrix}

值 = 对角线元素相乘

这是计算 n 阶行列式的标准方法。

方法2：按行（列）展开（降阶）

公式：

D=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}

$A_{ik}$ 是代数余子式其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，定义为： $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$
- $M_{ij}$ 是余子式：划去第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩下的n-1阶行列式。
- $(-1)^{i+j}$ 是符号位。
把 n 阶 → n-1 阶 → … → 2阶

1.3 给你一句终极总结

n 阶行列式有公式：所有“每行每列取一个”的乘积，按排列奇偶加正负，再求和。
做题不用死套定义，只用两种实用方法：
- 化成上三角（对角线相乘）
- 按行/列展开（降阶）

2.对角行列式

对角行列式是一种特殊的行列式，它的非零元素只出现在主对角线上，而主对角线之外的所有元素都为零。

2.1. 一般形式

对于一个 $n$ 阶方阵：

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}

这就是对角行列式（对应的矩阵称为对角矩阵）。

2.2. 计算方法

对角行列式的值 = 主对角线上所有元素的乘积。

\det(A) = a_{11} \times a_{22} \times \dots \times a_{nn}

简单推导

按第一行展开：只有 $a_{11}$ 不为零，其余元素为 0。
余子式 $M_{11}$ 又是一个对角行列式（低一阶）。
依此类推，得到乘积形式。

2.3. 扩展类型

(1) 上三角与下三角行列式

虽然严格对角行列式要求非对角线全为 0，但更一般地：

上三角行列式：主对角线以下的元素全为 0。
下三角行列式：主对角线以上的元素全为 0。它们的行列式值也等于主对角线元素的乘积。

例如：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33}

(2) 副对角线对角型（反三角型）

非零元素只在副对角线上（从右上到左下）：

\begin{vmatrix} 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ \lambda_3 & 0 & 0 \end{vmatrix}

这种行列式的值 = $(-1)^{n(n-1)/2} \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n$ ，其中 $n$ 为阶数。

符号由排列 $(n, n-1, \dots, 1)$ 的逆序数 $n(n-1)/2$ 决定。

(3) 分块对角行列式

矩阵可以分块为：

\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}

其中 $A, B$ 是方阵。此时：

\det = \det(A) \times \det(B)

2.4. 为什么重要？

计算简单：直接相乘，不需要复杂展开。
化简工具：许多行列式计算的目标就是通过行变换化为三角型，从而快速得出结果。
特征值：对角矩阵的主对角元就是它的特征值。
矩阵理论：对角化是矩阵分析中的重要方法。

2.5. 简单例子

\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 3 \times (-2) \times 5 = -30

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times 4 \times 6 = 24 \quad \text{（上三角）}

2.6. 注意事项

必须是方阵才有行列式。
对角行列式是三角行列式的特例，所以也适用“主对角线乘积”规则。
如果主对角线上有一个 0，则整个行列式为 0。

3.参考文献

本文参考AI回答，豆包，Deepseek,千问