Dummit《Abstract Algebra Third Edition 》Ⅱ

域扩张的基本理论 回顾一下，域 $F$ 是一个具有单位元的交换环，其中每个非零元素都有一个逆元。等价地，$F$ 的非零元素集合 ${F}^{ \times } = F - { 0}$ 在乘法下构成一个

分裂域与代数闭包 设 $F$ 为一个域。 如果 $f\left( x\right)$ 是 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的任意多项式，那么我们在第2节中已经看到存在一

可分和不可分扩展 令 $F$ 为一个域，令 $f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 为一个多项式。在 $f\left( x\right)

原根多项式与扩张 本节的目的是证明由第4节中引入的 [latex0] 的单位根生成的循环扩张 $$ \mathbb{Q}\left( {\zeta }_{n}\right) /\mathbb{Q} $

伽罗瓦理论基本定义 在上一章中，我们证明了存在一个有限扩展域 $F$，它包含给定多项式 $f\left( x\right)$ 的所有根，且该多项式的系数在 $F$ 中。伽罗瓦理论（以埃瓦里斯特·伽罗瓦

伽罗瓦理论的基本定理 在上一节中考虑的伽罗瓦扩展 $\operatorname{Gal}\left( {\mathbb{Q}\left( {\sqrt{2},\sqrt{3}}\right) /\ma

有限域 一个有限域 $\mathbb{F}$ 具有特征 $p$ ，对于某个素数 $p$ ，因此它是 ${\mathbb{F}}{p}$ 上的有限维向量空间。如果维数是 $n$ ，即 $\left\lb

合成扩展与简单扩展 我们现在考虑将复合扩展与伽罗瓦扩展结合起来的效果。第一个结果是，将伽罗瓦扩展“向上滑动”得到的是一个伽罗瓦扩展。 命题19。假设 $K/F$ 是一个伽罗瓦扩展，${F}^{\pri

分圆扩张与 Q 上的阿贝尔扩张 我们已经确定，$\mathbb{Q}\left( {\zeta }{n}\right)$ 的单位根 ${n}^{\text{th }}$ 的循环域是 $\mathbb{

多项式的伽罗瓦群 回顾一下，可分多项式 $f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 的伽罗瓦群定义为该多项式分裂域的伽罗瓦群 $f\left

可解和根式扩张：五次方程不可解 我们现在研究用根式求解多项式根的问题，即通过加法、减法、乘法、除法和提取 ${n}^{\text{th }}$ 根的代数运算。二次方程的根的公式在初等代数中是熟悉的，下

Q上伽罗瓦群的计算 在确定第6节中次数为 $\leq 4$ 的多项式的伽罗瓦群以及上一节中多项式 ${x}^{5} - {6x} + 3$ 的伽罗瓦群时，我们注意到通过自动同构作为 ${S}_{n}$

超越扩张，不可分扩张，无限伽罗瓦群 本节收集了一些关于任意扩张 $E/\dot{F}$ 的结果。这些结果补充了前几节的内容，完成了对任意（可能是无限的）扩张分解的基本描述。由于本节主要目的是作为一个概