14.4 合成扩展与简单扩展合成扩展与简单扩展我们现在考虑将复合扩展与伽罗瓦扩展结合起来的效果。第一个结果是，将伽罗瓦

合成扩展与简单扩展

我们现在考虑将复合扩展与伽罗瓦扩展结合起来的效果。第一个结果是，将伽罗瓦扩展“向上滑动”得到的是一个伽罗瓦扩展。

命题19。假设 $K/F$ 是一个伽罗瓦扩展， ${F}^{\prime }/F$ 是任意扩展。那么 $K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }$ 是一个伽罗瓦扩展，其伽罗瓦群

\operatorname{Gal}\left( {K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }}\right) \cong \operatorname{Gal}\left( {K/K \cap {F}^{\prime }}\right)

同构于 $\operatorname{Gal}\left( {K/F}\right)$ 的一个子群。直观上，

证明：如果 $K/F$ 是伽罗瓦扩张，那么 $K$ 是某个可分多项式 $f\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的分裂域。因此 $K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }$ 是 $f\left( x\right)$ 的分裂域，将其视为一个多项式在

${F}^{\prime }\left\lbrack x\right\rbrack$ ，因此这个扩张是伽罗瓦的。由于 $K/F$ 是伽罗瓦的，每个固定 $F$ 的 $K$ 的嵌入都是 $K$ 的自同构，所以映射

\varphi : \operatorname{Gal}\left( {K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }}\right) \rightarrow \operatorname{Gal}\left( {K/F}\right)

\sigma \mapsto {\left. \sigma \right| }_{K}

通过将自同构 $\sigma$ 限制在子域 $K$ 上定义的映射是良定义的。显然它是一个同态，其核为

\ker \varphi = \left\{ {\sigma \in \operatorname{Gal}\left( {K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }}\right) {\left| \sigma \right| }_{K} = 1}\right\} .

由于 $\operatorname{Gal}\left( {K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }}\right)$ 中的元素在 ${F}^{\prime }$ 上是平凡的，核中的元素在 $K$ 和 ${F}^{\prime }$ 上都是平凡的，因此在它们的复合上也是平凡的，所以核只包含恒同自同构。因此 $\varphi$ 是单射。

令 $H$ 表示 $\varphi$ 在 $\mathrm{{Gal}}\left( {K/F}\right)$ 中的像，令 ${K}_{H}$ 表示包含 $F$ 的 $K$ 的相应固定子域。由于 $H$ 中的每个元素固定 ${F}^{\prime },{K}_{H}$ 包含 $K \cap {F}^{\prime }$ 。另一方面，复合 ${K}_{H}{F}^{\prime }$ 被 $\operatorname{Gal}\left( {K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }}\right)$ 固定（任何 $\sigma \in \operatorname{Gal}\left( {K{F}^{\prime }/{F}^{\prime }}\right)$ 固定 ${F}^{\prime }$ 并通过其限制 ${\left. \sigma \right| }_{K} \in H$ 作用于 ${K}_{H} \subseteq K$ ，该限制按定义固定 ${K}_{H}$ ）。根据基本定理，可以得出 ${K}_{H}{F}^{\prime } = {F}^{\prime }$ ，因此 ${K}_{H} \subseteq {F}^{\prime }$ ，这给出了反向包含 ${K}_{H} \subseteq K \cap {F}^{\prime }$ 。因此 ${K}_{H} = K \cap {F}^{\prime }$ ，所以再次根据基本定理， $H = \operatorname{Gal}\left( {K/K \cap {F}^{\prime }}\right)$ ，完成证明。

推论 20。假设 $K/F$ 是伽罗瓦扩张， ${F}^{\prime }/F$ 是任意有限扩张。

那么

\left\lbrack {K{F}^{\prime } : F}\right\rbrack = \frac{\left\lbrack {K : F}\right\rbrack \left\lbrack {{F}^{\prime } : F}\right\rbrack }{\left\lbrack K \cap {F}^{\prime } : F\right\rbrack }.

证明：这遵循命题中的等式 $\left\lbrack {K{F}^{\prime } : {F}^{\prime }}\right\rbrack = \left\lbrack {K : K \cap {F}^{\prime }}\right\rbrack$ ，该等式由伽罗瓦群在命题中的阶数给出。

示例 $F = \mathbb{Q},K = \mathbb{Q}\left( \sqrt[3]{2}\right) ,{F}^{\prime } = \mathbb{Q}\left( {\rho \sqrt[3]{2}}\right) ,\rho$ 一个原始 ${3}^{\text{rd }}$ 的单位根，表明如果两个扩展都不是伽罗瓦扩展，那么推论 20 的公式通常不成立。

命题 21。设 ${K}_{1}$ 和 ${K}_{2}$ 是域 $F$ 的伽罗瓦扩展。那么

(1) 交集 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 在 $F$ 上是伽罗瓦的。

(2) 合成 ${K}_{1}{K}_{2}$ 在 $F$ 上是伽罗瓦的。伽罗瓦群同构于直积 ${K}_{1}{K}_{2}$ 的子群

H = \left\{ {\left( {\sigma ,\tau }\right) {\left| \sigma \right| }_{{K}_{1} \cap {K}_{2}} = {\left. \tau \right| }_{{K}_{1} \cap {K}_{2}}}\right\}

由限制到交集 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 的元素相等的元素组成。

证明：(1) 假设 $p\left( x\right)$ 是 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的一个不可约多项式，它在 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 中有一个根 $\alpha$ 。由于 $\alpha \in {K}_{1}$ 和 ${K}_{1}/F$ 是伽罗瓦的，所以 $p\left( x\right)$ 的所有根都在 ${K}_{1}$ 中。类似地，所有根都在 ${K}_{2}$ 中，因此 $p\left( x\right)$ 的所有根都在 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 中。由此容易得出 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 是伽罗瓦的，如定理 13 中所述。

(2) 如果 ${K}_{1}$ 是可分多项式 ${f}_{1}\left( x\right)$ 的分裂域， ${K}_{2}$ 是可分多项式 ${f}_{2}\left( x\right)$ 的分裂域，那么合成是多项式 ${f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right)$ 的无平方因子部分的分裂域，因此它在 $F$ 上是伽罗瓦的。

该映射

\varphi : \operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}{K}_{2}/F}\right) \rightarrow \operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}/F}\right) \times \operatorname{Gal}\left( {{K}_{2}/F}\right)

\sigma \mapsto \left( {{\left. \sigma \right| }_{{K}_{1}},{\left. \sigma \right| }_{{K}_{2}}}\right)

显然是一个同态。核由元素 $\sigma$ 组成，这些元素在 ${K}_{1}$ 和 ${K}_{2}$ 上都是平凡的，因此在复合上也是平凡的，所以这个映射是单射。像位于子群 $H$ 中，因为

{\left. \left( {\left. \sigma \right| }_{{K}_{1}}\right) \right| }_{{K}_{1} \cap {K}_{2}} = {\left. \sigma \right| }_{{K}_{1} \cap {K}_{2}} = {\left. \left( {\left. \sigma \right| }_{{K}_{2}}\right) \right| }_{{K}_{1} \cap {K}_{2}}.

$H$ 的阶可以通过观察得出，对于每一个 $\sigma \in \operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}/F}\right)$ ，都有 $\left| {\operatorname{Gal}\left( {{K}_{2}/{K}_{1} \cap {K}_{2}}\right) }\right|$ 个元素 $\tau \in \operatorname{Gal}\left( {{K}_{2}/F}\right)$ ，它们在 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 上的限制是 ${\left. \sigma \right| }_{{K}_{1} \cap {K}_{2}}$ 。因此

\left| H\right| = \left| {\operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}/F}\right) }\right| \cdot \left| {\operatorname{Gal}\left( {{K}_{2}/{K}_{1} \cap {K}_{2}}\right) }\right|

= \left| {\mathrm{{Gal}}\left( {{K}_{1}/F}\right) }\right| \frac{\left| \mathrm{{Gal}}\left( {K}_{2}/F\right) \right| }{\left| \mathrm{{Gal}}\left( {K}_{1} \cap {K}_{2}/F\right) \right| }.

由推论 20 和上面的图，我们看到 $H$ 和 $\operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}{K}_{2}/F}\right)$ 的阶都等于

\left\lbrack {{K}_{1}{K}_{2} : F}\right\rbrack = \frac{\left\lbrack {{K}_{1} : F}\right\rbrack \left\lbrack {{K}_{2} : F}\right\rbrack }{\left\lbrack {K}_{1} \cap {K}_{2} : F\right\rbrack }.

因此 $\varphi$ 的像正是 $H$ ，完成了证明。

推论 22。设 ${K}_{1}$ 和 ${K}_{2}$ 是域 $F$ 的伽罗瓦扩张，且 ${K}_{1} \cap {K}_{2} = F$ 。那么

\operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}{K}_{2}/F}\right) \cong \operatorname{Gal}\left( {{K}_{1}/F}\right) \times \operatorname{Gal}\left( {{K}_{2}/F}\right) .

反之，如果 $K$ 在 $F$ 上是伽罗瓦扩张，且 $G = \operatorname{Gal}\left( {K/F}\right) = {G}_{1} \times {G}_{2}$ 是两个子群 ${G}_{1}$ 和 ${G}_{2}$ 的直积，那么 $K$ 是两个伽罗瓦扩张 ${K}_{1}$ 和 ${K}_{2}$ 的复合，这两个扩张在 $F$ 上，且 ${K}_{1} \cap {K}_{2} = F$ 。

证明：第一部分直接由命题得出。对于第二部分，设 ${K}_{1}$ 是 ${G}_{1} \subset G$ 的固定域， ${K}_{2}$ 是 ${G}_{2} \subset G$ 的固定域。那么 ${K}_{1} \cap {K}_{2}$ 是对应于子群 ${G}_{1}{G}_{2}$ 的域，在这种情况下， ${G}_{1}{G}_{2}$ 是 $G$ 的全部，所以 ${K}_{1} \cap {K}_{2} = F$ 。复合 ${K}_{1}{K}_{2}$ 是对应于子群 ${G}_{1} \cap {G}_{2}$ 的域，这里 ${G}_{1} \cap {G}_{2}$ 是单位元，所以 ${K}_{1}{K}_{2} = K$ ，完成了证明。

推论 23. 设 $E/F$ 为任意有限可分扩张。那么 $E$ 包含在一个对 $F$ 是伽罗瓦扩张的扩张 $K$ 中，并且是最小的，在 $K$ 的固定代数闭包中，任何包含 $E$ 的 $F$ 的其他伽罗瓦扩张都包含 $K$ 。

证明：存在一个包含 $E$ 的 $F$ 的伽罗瓦扩张，例如 $E$ 的基（对于 $F$ 是可分的）的最小多项式的分裂域的复合（因为这些分裂域都是可分的，因为 $E$ 在 $F$ 上是可分的）。那么所有包含 $E$ 的 $F$ 的伽罗瓦扩张的交集就是域 $K$ 。

定义。在前面推论中包含 $E$ 的 $F$ 的伽罗瓦扩张 $K$ 被称为 $E$ 在 $F$ 上的伽罗瓦闭包。

在伽罗瓦扩张中工作通常更简单（例如在计算次数时，如推论 20 中所示）。对于可分扩张，伽罗瓦闭包的存在经常用于将计算简化为考虑伽罗瓦扩张。

回顾一下，如果 $K$ 是 $F$ 的扩张，并且 $K = F\left( \theta \right)$ 对于某个元素 $\theta$ ，那么 $K$ 被称为简单扩张，此时 $\theta$ 被称为 $K$ 的一个本原元素。

命题 24。设 $K/F$ 为有限扩张。那么 $K = F\left( \theta \right)$ 当且仅当 $K$ 包含 $F$ 的子域数量有限。

证明：首先假设 $K = F\left( \theta \right)$ 是简单的。设 $E$ 是包含 $F : F \subseteq E \subseteq K$ 的 $K$ 的子域。设 $f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是 $\theta$ 在 $F$ 上的最小多项式，设 $g\left( x\right) \in E\left\lbrack x\right\rbrack$ 是 $\theta$ 在 $E$ 上的最小多项式。那么 $g\left( x\right)$ 在 $E\left\lbrack x\right\rbrack$ 中整除 $f\left( x\right)$ 。设 ${E}^{\prime }$ 是由 $g\left( x\right)$ 的系数在 $F$ 上生成的域。那么 ${E}^{\prime } \subseteq E$ ，显然 $\theta$ 在 ${E}^{\prime }$ 上的最小多项式仍然是 $g\left( x\right)$ 。但是接下来

\left\lbrack {K : E}\right\rbrack = \deg g\left( x\right) = \left\lbrack {K : {E}^{\prime }}\right\rbrack

这意味着 $E = {E}^{\prime }$ 。因此，包含 $F$ 的 $K$ 的子域是由 $f\left( x\right)$ 的单系数因子生成的子域，因此这样的子域是有限的。

反之，假设 $K$ 中包含 $F$ 的子域是有限的。如果 $F$ 是有限域，那么我们已经知道 $K$ 是简单扩展（命题 17）。因此我们可以假设 $F$ 是无限的。显然，只需证明 $F\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 由单个元素生成就足够了，因为 $K$ 在 $F$ 上是有限生成的。考虑子域

F\left( {\alpha + {c\beta }}\right) ,\;c \in F.

由于 $c \in F$ 有无限多个选择，而这样的子域只有有限多个，因此存在 $c,{c}^{\prime }$ 在 $F,c \neq {c}^{\prime }$ 中，使得

F\left( {\alpha + {c\beta }}\right) = F\left( {\alpha + {c}^{\prime }\beta }\right) .

那么 $\alpha + {c\beta }$ 和 $\alpha + {c}^{\prime }\beta$ 都位于 $F\left( {\alpha + {c\beta }}\right)$ 中，取它们的差值表明 $\left( {c - {c}^{\prime }}\right) \beta \in F\left( {\alpha + {c\beta }}\right)$ 。因此 $\beta \in F\left( {\alpha + {c\beta }}\right)$ ，然后还有 $\alpha \in F\left( {\alpha + {c\beta }}\right)$ 。所以 $F\left( {\alpha ,\beta }\right) \subseteq F\left( {\alpha + {c\beta }}\right)$ ，由于反向包含是显然的，我们有

F\left( {\alpha ,\beta }\right) = F\left( {\alpha + {c\beta }}\right)

完成证明。

定理 25（素元定理）如果 $K/F$ 是有限且可分的，那么 $K/F$ 是单的。特别地，特征为 0 的域的任何有限扩张都是单的。

证明：设 $L$ 是 $K$ 在 $F$ 上的伽罗瓦闭包。那么，包含 $F$ 的 $K$ 的任何子域对应于伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}\left( {L/F}\right)$ 的一个子群，由基本定理可知。由于这样的子群只有有限多个，前一个命题表明 $K/F$ 是单的。最后一个结论是因为特征为 0 的域的任何有限扩张都是可分的。

如命题的证明所示，一个扩张的素元可以表示为扩张生成元的简单线性组合。在伽罗瓦扩张的情况下，只需确定一个不被伽罗瓦群的任何非平凡元素固定的线性组合，因为根据基本定理，这个线性组合不可能位于任何真子域中。