13.1 域扩张的基本理论

域扩张的基本理论

回顾一下，域 $F$ 是一个具有单位元的交换环，其中每个非零元素都有一个逆元。等价地，$F$ 的非零元素集合 ${F}^{ \times } = F - \{ 0\}$ 在乘法下构成一个阿贝尔群。

与任何域 $F$ 相关联的第一个不变量是它的特征，定义如下：如果 ${1}_{F}$ 表示 $F$ 的单位元，那么 $F$ 包含了由 ${1}_{F}$ 生成的加法子群 ${1}_{F},{1}_{F} + {1}_{F}$ 、${1}_{F} + {1}_{F} + {1}_{F},\ldots$ 的元素，这些元素可能并不都是不同的。对于正整数 $n$，令 $n \cdot {1}_{F} = {1}_{F} + \cdots + {1}_{F}$ （$n$ 次）。那么有两种可能：要么所有 $n \cdot {1}_{F}$ 的元素都是不同的，要么存在某个正整数 $n$，使得 $n \cdot {1}_{F} = 0$。

定义

域 $F$ 的特征，记作 $\operatorname{ch}\left( F\right)$，定义为最小的正整数 $p$，使得 $p \cdot {1}_{F} = 0$，如果存在这样的 $p$；如果不存在，则定义为0。

很容易看出

对于正整数 $m$ 和 $n$ ，可以得出域的特征是0或素数 $p$（因此上面定义中选择 $p$ ），因为如果 $n = {ab}$ 是与 $n \cdot {1}_{F} = 0$ 的合数，那么 ${ab} \cdot {1}_{F} = \left( {a \cdot {1}_{F}}\right) \left( {b \cdot {1}_{F}}\right) = 0$ ，由于 $F$ 是域，$a \cdot {1}_{F}$ 或 $b \cdot {1}_{F}$ 之一必须是0，所以最小的这样的整数必然是素数。这也意味着如果 $n \cdot {1}_{F} = 0$ ，那么 $n$ 可被 $p$ 整除。

命题1

域 $F,\operatorname{ch}\left( F\right)$ 的特征是0或素数 $p$ 。如果 $\operatorname{ch}\left( F\right) = p$ ，那么对于任何 $\alpha \in F$ ，

证明：只有第二个陈述尚未证明，而这直接来自于在 $F$ 中 $p \cdot \alpha = p \cdot \left( {{1}_{F}\alpha }\right) = \left( {p \cdot {1}_{F}}\right) \left( \alpha \right)$ 的明显等式。

注释：特征的概念对于任何整环也是有意义的，其特征与它的分式域的特征相同。

示例

(1) 域 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 都具有特征0：$\operatorname{ch}\left( \mathbb{Q}\right) = \operatorname{ch}\left( \mathbb{R}\right) = 0$ 。整环 $\mathbb{Z}$ 也具有特征0。

(2) 对于任何素数 $p$ ，(有限)域 ${\mathbb{F}}_{p} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 具有特征 $p$ 。

(3) 变量 $x$ 上的多项式整环 ${\mathbb{F}}_{p}\left\lbrack x\right\rbrack$ ，其系数在域 ${\mathbb{F}}_{p}$ 中，具有特征 $p$ ，它的分式域 ${\mathbb{F}}_{p}\left( x\right)$ （在 $x$ 中带有 ${\mathbb{F}}_{p}$ 系数的有理函数域）也是如此。

如果我们为正的 $n$ 和 $0 \cdot {1}_{F} = 0$ 定义 $\left( {-n}\right) \cdot {1}_{F} = - \left( {n \cdot {1}_{F}}\right)$ ，那么我们根据方程(1)有一个自然的环同态。

我们可以通过注意到 $\ker \left( \varphi \right) = \operatorname{ch}\left( F\right) \mathbb{Z}$ 来解释 $F$ 的特征。通过对核取商，我们得到 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 到 $F$ 的一个内射（取决于 $\operatorname{ch}\left( F\right) = 0$ 或 $\operatorname{ch}\left( F\right) = p$ ）。由于 $F$ 是一个域，我们发现 $F$ 包含一个子域，它与 $\mathbb{Q}$ （$\mathbb{Z}$ 的分式域）或 ${\mathbb{F}}_{p} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的分式域）同构，这取决于 $F$ 的特征，并且在任何情况下，它都是包含 ${1}_{F}$ （在 $F$ 中由 ${1}_{F}$ 生成的域）的最小子域。

定义

一个域 $F$ 的素子域是由 $F$ 的乘法单位元 ${1}_{F}$ 生成的子域。它（同构于）$\mathbb{Q}$ （如果 $\operatorname{ch}\left( F\right) = 0$ ）或 ${\mathbb{F}}_{p}$ （如果 $\operatorname{ch}\left( F\right) = p$ ）。

注意：我们通常将域 $F$ 的单位元 ${1}_{F}$ 简单地表示为 1。那么在特征为 $p$ 的域中，有 $p \cdot 1 = 0$，通常简单地写作 $p = 0$（例如，在特征为 2 的域中的 $2 = 0$）。然而，应该记住这是一个简写表述 - 元素 " $p$ " 实际上是 $p \cdot {1}_{F}$，并且在 $F$ 中不是一个不同的元素。这种记法在考虑到命题 1 中的第二个陈述时是有用的。

示例

(1)$\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 的素子域都是 $\mathbb{Q}$。

(2) 字域 ${\mathbb{F}}_{p}\left( x\right)$ 的素子域与 ${\mathbb{F}}_{p}$ 同构，由常系数多项式给出。

定义。如果 $K$ 是包含子域 $F$ 的一个字域，那么 $K$ 被称为 $F$ 的扩域（或简称扩展），记作 $K/F$ 或用图示表示。

特别地，每个字域 $F$ 都是它的素子域的扩展。字域 $F$ 有时被称为扩展的基域。

字域扩展的记法 $K/F$ 是 " $K$ 上 $F$ " 的简写，并不是 $K$ 除以 $F$ 的商。

如果 $K/F$ 是任意字段扩展，那么在 $K$ 中定义的乘法使得 $K$ 成为 $F$ 上的向量空间。特别地，每个字域 $F$ 都可以被视为其素子域上的向量空间。

定义

字段扩展 $K/F$ 的次数（或相对次数或指数）记作 $\left\lbrack {K : F}\right\rbrack$，是 $K$ 作为 $F$ 上的向量空间的维度（即 $\left\lbrack {K : F}\right\rbrack = {\dim }_{F}K$）。如果 $\left\lbrack {K : F}\right\rbrack$ 是有限的，那么这个扩展被称为有限扩展；如果 $\left\lbrack {K : F}\right\rbrack$ 是无限的，则称为无限扩展。

一类重要的域扩张是那些尝试在给定域 $F$ 上解方程得到的扩张。例如，如果 $F = \mathbb{R}$ 是实数域，那么简单方程 ${x}^{2} + 1 = 0$ 在 $F$ 中没有解。这就引出了一个问题，是否存在一个包含 $\mathbb{R}$ 的更大域，使得这个方程在该域中有解，正是这个问题引导高斯引入了复数 $\mathbb{C} = \mathbb{R} + \mathbb{R}i$，其中 $i$ 被定义为使得 ${i}^{2} + 1 = 0$。然后，按照初等代数中熟悉的规则定义 $\mathbb{C}$ 中的加法和乘法，并验证实际上 $\mathbb{C}$ 如此定义是一个域，即对于 $\mathbb{C}$ 中的每个非零元素，都可能找到其逆元。

给定任意域 $F$ 和任意多项式 $p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$，我们可以提出类似的问题：是否存在 $F$ 的扩张 $K$，包含方程 $p\left( x\right) = 0$ 的解（即包含 $p\left( x\right)$ 的根）？请注意，在这里我们可以假设多项式 $p\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是不可约的，因为任何 $p\left( x\right)$ 因子的根显然也是 $p\left( x\right)$ 的根。答案是肯定的，并且几乎立即从我们对多项式环 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 的工作中得出。我们首先回顾以下关于域同态的有用结果（第7章的推论10），该结果源于一个域 $F$ 的唯一理想是0和 $F$ 的事实。

命题2

设 $\varphi : F \rightarrow {F}^{\prime }$ 为域的同态。那么 $\varphi$ 要么恒等于0，要么是单射，使得 $\varphi$ 的像要么是0，要么同构于 $F$。

定理3

设 $F$ 是一个域，$p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个不可约多项式。那么存在一个域 $K$，它包含一个与 $F$ 同构的副本，在这个副本中 $p\left( x\right)$ 有一个根。将 $F$ 与这个同构副本识别后，可以证明存在一个 $F$ 的扩展域，使得 $p\left( x\right)$ 在其中有一个根。

证明：考虑多项式环 [latex0] 关于由 [latex1] 生成的理想的商环。

由于假设 $p\left( x\right)$ 是主理想整环 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的一个不可约多项式，所以由 $p\left( x\right)$ 生成的理想 $\left( {p\left( x\right) }\right)$ 是一个极大理想。因此 $K$ 实际上是一个域（这是第7章命题12）。$F\left\lbrack x\right\rbrack$ 到商环 $F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$ 的典范投影 $\pi$，限制在 $F \subset F\left\lbrack x\right\rbrack$ 上，给出了一个同态 $\varphi = {\left. \pi \right| }_{F} : F \rightarrow K$，它不恒等于0，因为它将 $F$ 的单位元1映射到 $K$ 的单位元1。因此根据上述命题，$\varphi \left( F\right) \cong F$ 是包含在 $K$ 中的 $F$ 的一个同构副本。我们将 $F$ 与其在 $K$ 中的同构像识别，并将 $\mathbf{F}$ 视为 $K$ 的一个子域。如果 $\bar{x} = \pi \left( x\right)$ 表示 $x$ 在商环 $K$ 中的像，那么

因此 $K$ 确实包含多项式 $p\left( x\right)$ 的一个根。于是 $K$ 是一个 $F$ 的扩展域，在这个扩展域中多项式 $p\left( x\right)$ 有一个根。

我们稍后将会使用这个结果来构造包含 $p\left( x\right)$ 所有根的 $F$ 的扩展域（这是分裂域的概念，并且是伽罗瓦理论中一个核心的研究对象）。

为了更全面地理解上述构造的域 $K = F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$，有一个用于表示该域元素的简单表示是有用的。由于 $F$ 是 $K$ 的子域，我们特别可以询问 $K$ 作为 $F$ 上的向量空间的基础。

定理4

设 $p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是在域 $F$ 上的不可约多项式，其次数为 $n$，设 $K$ 是域 $F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$。设 $\theta = x{\;\operatorname{mod}\;\left( {p\left( x\right) }\right) } \in K$。那么元素

构成 $K$ 作为 $F$ 上的向量空间的一个基，因此扩展的次数为 $n$，即 $\left\lbrack {K : F}\right\rbrack = n$。因此

由所有在 $\theta$ 中的次数为 $< n$ 的多项式组成。

证明：设 $a\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是任何在 $F$ 中具有系数的多项式。由于 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是欧几里得域（这是第9章的定理3），我们可以将 $a\left( x\right)$ 除以 $p\left( x\right)$：

由于 $q\left( x\right) p\left( x\right)$ 位于理想 $\left( {p\left( x\right) }\right)$ 中，因此 $a\left( x\right) \equiv r\left( x\right) {\;\operatorname{mod}\;\left( {p\left( x\right) }\right) }$，这表明 $F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$ 中的每个同余类都由小于 $n$ 次数的多项式表示。因此，$1,x,{x}^{2},\ldots ,{x}^{n - 1}$ 在商中的像 $1,\theta ,{\theta }^{2},\ldots ,{\theta }^{n - 1}$ 生成商作为 $F$ 上的向量空间的生成集。剩下要证明的是这些元素是线性无关的，因此它们在商上形成一个基。

如果元素 $1,\theta ,{\theta }^{2},\ldots ,{\theta }^{n - 1}$ 在 $K$ 中不是线性无关的，那么将存在一个线性组合

在 $K$ 中，其中 ${b}_{0},{b}_{1},\ldots ,{b}_{n - 1} \in F$，不全为0。这等价于

即，

在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中。但这是不可能的，因为 $p\left( x\right)$ 的次数为 $n$，而右侧非零多项式的次数为 $< n$。这证明了 $1,\theta ,{\theta }^{2},\ldots ,{\theta }^{n - 1}$ 是 $K$ 在 $F$ 上的一个基，因此根据定义 $\left\lbrack {K : F}\right\rbrack = n$。定理的最后陈述是明显的。

这个定理提供了一个简单的描述，即域 $F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$ 的元素可以作为次数为 $< n$ 的 $\theta$ 上的多项式，其中 $\theta$ 是一个元素（在 $K$ 中）且具有 $p\left( \theta \right) = 0$。剩下要做的只是看如何在这种形式下添加和乘以元素。在商 $F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$ 中的加法只是多项式的通常加法。在商 $F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {p\left( x\right) }\right)$ 中多项式 $a\left( x\right)$ 和 $b\left( x\right)$ 的乘法是通过找到 $a\left( x\right) b\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的乘积，然后找到 $a\left( x\right) b\left( x\right) + \left( {p\left( x\right) }\right)$ 的陪集中的次数为 $< n$ 的代表（如上述证明中）通过除以 $p\left( x\right)$ 并找到余数来完成的。

这也可以很容易地在 $\theta$ 的术语中完成，如下所示：我们可以假设 $p\left( x\right)$ 是单次的（因为乘以常数不会改变它的根和它生成的理想），比如说 $p\left( x\right) = {x}^{n} + {p}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {p}_{1}x + {p}_{0}$。然后在 $K$ 中，因为 $p\left( \theta \right) = 0$，我们有

即，${\theta }^{n}$ 是 $\theta$ 的较低次幂的线性组合。两边同时乘以 $\theta$ 并将右侧的 ${\theta }^{n}$ 再次替换为这些较低次幂，我们发现 ${\theta }^{n + 1}$ 也是 $\theta$ 的次数为 $< n$ 的多项式。类似地，$\theta$ 的任何正次幂都可以写为 $\theta$ 的次数为 $< n$ 的多项式，因此 $\theta$ 的任何多项式都可以写为 $\cdot \theta$ 的次数为 $< n$ 的多项式。在 $K$ 中的乘法现在可以轻松完成：只需将两个次数为 $< n$ 的 $\theta$ 的多项式的乘积写作另一个次数为 $< n$ 的 $\theta$ 的多项式。

我们将此总结为：

推论 5

设 $K$ 如定理 4 中所述，且设 $a\left( \theta \right) ,b\left( \theta \right) \in K$ 是 $\theta$ 中次数为 $< n$ 的两个多项式。那么在 $K$ 中的加法定义为简单的多项式加法，而在 $K$ 中的乘法定义为

其中 $r\left( x\right)$ 是将多项式 $a\left( x\right) b\left( x\right)$ 除以 $p\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中得到的余数（次数为 $< n$）。

根据上述证明的结果，这个在次数为 $< n$ 的 $\theta$ 的多项式上的加法和乘法定义使得 $K$ 成为一个域，因此也可以除以非零元素，这是从操作定义中不容易直接看出的。

在定理4中，多项式 $p\left( x\right)$ 在 $F$ 上不可约也是重要的。一般来说，推论5中的加法和乘法（可以为任何多项式 $p\left( x\right)$ 以相同的方式定义）并不能使 $\theta$ 中次数为 $< n$ 的多项式构成一个域，如果 $p\left( x\right)$ 不是不可约的。实际上，这个集合在一般情况下甚至不是一个整环（其结构由第9章的命题16给出）。要描述包含一般多项式 $f\left( x\right)$ 在 $F,f\left( x\right)$ 上的根 $\theta$ 的域，需要将 $f\left( x\right)$ 分解为 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的不可约因子，并将上述结果应用于 $f\left( x\right)$ 的一个以 $\theta$ 为根的不可约因子。我们将在以下各节中进一步讨论这一点。

示例

(1)如果我们把这个构造应用到特殊情况 $F = \mathbb{R}$ 和 $p\left( x\right) = {x}^{2} + 1$ 上，那么我们得到一个域

这是一个次数为2的 $\mathbb{R}$ 的扩展域，在其中 ${x}^{2} + 1$ 有一个根。这个域的元素形式为 $a + {b\theta }$ ，其中 $a,b \in \mathbb{R}$ 。加法定义为

为了相乘，我们使用 ${\theta }^{2} + 1 = 0$ 的事实，即 ${\theta }^{2} = - 1$ 在 $K$ 中。或者，注意到 -1 也是 ${x}^{2}$ 被 ${x}^{2} + 1$ 在 $\mathbb{R}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中除时的余数。那么

这些公式，除了将 $\theta$ 改为 $i$ ，是 $\mathbb{C}$ 中进行加法和乘法的公式。换句话说，映射

是一个同构。由于它是一个双射（例如，作为实数上的向量空间之间的映射），它是同构。注意，我们不是默认 $\mathbb{C}$ 的存在（以及它实际上是一个域的相当繁琐的验证），我们可以通过这个同构来定义 $\mathbb{C}$。那么它是域的事实是定理4的推论。

（2）现在让 $F = \mathbb{Q}$ 成为有理数域，再次让 $p\left( x\right) = {x}^{2} + 1$（当然仍然在 $\mathbb{Q}$ 上不可约）。那么，与上面（2a）和（2b）相同的加法和乘法公式相同的构造，除了现在 $a$ 和 $b$ 是 $\mathbb{Q}$ 的元素，定义了 $\mathbb{Q}$ 的一个次数为2的域扩张 $\mathbb{Q}\left( i\right)$，包含 ${x}^{2} + 1$ 的一个根 $i$。

（3）取 $F = \mathbb{Q}$ 和 $p\left( x\right) = {x}^{2} - 2$，例如根据艾森斯坦判别法在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。那么我们得到 $\mathbb{Q}$ 的一个次数为2的域扩张，包含2的平方根 $\theta$，记为 $\mathbb{Q}\left( \theta \right)$。如果我们用 $\sqrt{2}$ 表示 $\theta$，这个域的元素形式为

加法定义为

乘法定义为

（4）让 $F = \mathbb{Q}$ 和 $p\left( x\right) = {x}^{3} - 2$ 再次根据艾森斯坦判别法不可约。用 $p\left( x\right)$ 的一个根 $\theta$ 表示，我们得到域

其中 ${\theta }^{3} = 2$ 是一个次数为3的扩张。为了找到这个域中的 $1 + \theta$ 的逆，比如说，我们可以按以下方式进行：在 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中使用欧几里得算法，存在多项式 $a\left( x\right)$ 和 $b\left( x\right)$ 使得

（由于 $p\left( x\right) = {x}^{3} - 2$ 是不可约的，它与其他次数较小的多项式互质）。在商域中，这个方程意味着 $a\left( \theta \right)$ 是 $1 + \theta$ 的逆元。在这种情况下，一个简单的计算表明我们可以取 $a\left( x\right) = \frac{1}{3}\left( {{x}^{2} - x + 1}\right)$ （和 $b\left( x\right) = - \frac{1}{3}$ ），因此

（5）一般来说，如果 $\theta \in K$ 是不可约多项式的根

我们可以从

即

（注意 ${p}_{0} \neq 0$ ，因为 $p\left( x\right)$ 是不可约的）。

注意：在这种类型的扩展中确定逆元可能来自初等代数中 $\mathbb{C}$ 的案例或以“有理化分母”名义下的示例 3。最后两个例子表明了一个比初等代数中的特定程序更一般的程序。

（6）取 $F = {\mathbb{F}}_{2}$ ，这是一个包含两个元素的有限域，以及我们已经验证在 ${\mathbb{F}}_{2}$ 上不可约的 $p\left( x\right) = {x}^{2} + x + 1$ 。在这里我们得到一个 ${\mathbb{F}}_{2}$ 的二次扩展

其中 ${\theta }^{2} = - \theta - 1 = \theta + 1$ 。在这个域 ${\mathbb{F}}_{2}\left( \theta \right)$ （包含四个元素）中的乘法定义为

（7）设 $F = k\left( t\right)$ 是变量 $t$ 上关于域 $k$ 的有理函数域（例如， $k = \mathbb{Q}$ 或 $k = {\mathbb{F}}_{p}$ ）。设 $p\left( x\right) = {x}^{2} - t \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 。那么 $p\left( x\right)$ 是不可约的（在 $k\left\lbrack t\right\rbrack$ 的素数（t）上是 Eisenstein 的）。如果我们用 $\theta$ 表示一个根，相应的二次域扩展 $F\left( \theta \right)$ 由以下元素组成

其中系数 $a\left( t\right)$ 和 $b\left( t\right)$ 是 $t$ 中的有理函数，系数在 $k$ 中，并且 ${\theta }^{2} = t$ 。

假设 $F$ 是一个域 $K$ 的子域，且 $\alpha \in K$ 是 $K$ 的一个元素。那么包含 $F$ 和 $\alpha$ 的 $K$ 的子域集合是非空的（例如 $K$ 本身就是一个这样的域）。由于子域的交集仍然是子域，因此存在一个包含 $F$ 和 $\alpha$ 的唯一最小子域（所有具有此性质的子域的交集）。如果将 $\alpha$ 替换为 $K$ 中的一组元素 $\alpha ,\beta ,\ldots$，类似的论述也适用。

定义

设 $K$ 是域 $F$ 的一个扩张，且 $\alpha ,\beta ,\cdots \in K$ 是 $K$ 中元素的一个集合。那么包含 $F$ 和元素 $\alpha ,\beta ,\ldots$ 的最小子域，记作 $F\left( {\alpha ,\beta ,\ldots }\right)$，被称为由 $\alpha ,\beta ,\ldots$ 在 $F$ 上生成的域。

定义

如果域 $K$ 由 $F,K = F\left( \alpha \right)$ 上的单个元素 $\alpha$ 生成，那么 $K$ 被称为 $F$ 的一个简单扩张，元素 $\alpha$ 被称为该扩张的素元素。

我们稍后将表征哪些域 $F$ 的扩张是简单的。特别是我们将证明，每个特征为0的域的有限扩张都是一个简单扩张。

由 $\alpha$ 生成的简单扩张 $F\left( \alpha \right)$ 与 $F$ 上的某个不可约多项式 $p\left( x\right)$ 的根以及定理3中构造的域之间的联系由以下内容提供：

定理6

设 $F$ 是一个域，$p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个不可约多项式。假设 $K$ 是包含 $F$ 的一个扩展域，包含 $p\left( x\right) : p\left( \alpha \right) = 0$ 的一个根 $\alpha$ 。设 $F\left( \alpha \right)$ 表示由 $\alpha$ 在 $F$ 上生成的 $K$ 的子域。那么

备注：这个定理说明，任何包含 $p\left( x\right)$ 的根的 $F$ 上的域都包含一个与定理3中构造的 $F$ 的扩展同构的子域，并且这个域（在同构的意义下）是包含这样一个根的最小扩展。这个结果与定理3的区别在于，定理6假设在某个域 $K$ 中存在 $p\left( x\right)$ 的一个根 $\alpha$ ，而定理3的主要点是证明存在这样一个扩展域 $K$ 。

证明：存在一个自然同态

通过将 $F$ 映射到 $F$ 的恒等映射，并将 $x$ 发送到 $\alpha$ ，然后扩展使得映射是一个环同态（即，$x$ 中的多项式 $a\left( x\right)$ 映射到 $\alpha$ 中的多项式 $a\left( \alpha \right)$ ）。由于 $p\left( \alpha \right) = 0$ ，根据假设，元素 $p\left( x\right)$ 在 $\varphi$ 的核中，因此我们得到一个诱导同态（也用 $\varphi$ 表示）：

但由于 $p\left( x\right)$ 是不可约的，左边的商是一个域，且 $\varphi$ 不是零映射（例如，它在 $F$ 上是恒等映射），因此 $\varphi$ 是左边域与它的像之间的同构。由于这个像是一个包含 $F$ 和 $\alpha$ 的 $F\left( \alpha \right)$ 的子域，根据 $F\left( \alpha \right)$ 的定义，映射必须是满射的，从而证明了定理。

结合推论 5，这确定了当 $\alpha$ 是不可约多项式 $p\left( x\right)$ 的根时，域 $F\left( \alpha \right)$：

推论 7

假设在定理 6 中 $p\left( x\right)$ 的次数为 $n$ 。那么

描述由多个元素生成的域更为复杂，我们将在下一节回到这个问题。

示例

(1) 在上面的例 3 中，我们已经确定了由元素 $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ 生成的在 $\mathbb{Q}$ 上的域 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right)$，将方程 ${x}^{2} - 2 = 0$ 的抽象解 $\theta$ 用符号 $\sqrt{2}$ 表示，该符号在域 $\mathbb{R}$ 中具有独立的意义（即 $\mathbb{R}$ 中的正平方根 2）。

(2) 方程 ${x}^{2} - 2 = 0$ 在 $\mathbb{R}$ 中有另一个解，即 $- \sqrt{2}$，$\mathbb{R}$ 中的负平方根 2。由这个解在 $\mathbb{Q}$ 上生成的域由元素 $\{ a + b\left( {-\sqrt{2}}\right) \mid a,b \in \mathbb{Q}\}$ 组成，并且再次与上面例 3 中的域同构（因此也与刚刚考虑的域同构，同构由 $a + b\sqrt{2} \mapsto a - b\sqrt{2}$ 显式给出）。作为 $\mathbb{R}$ 的子集，这与例 1 中的元素集合相同。

(3) 同样地，如果我们使用符号 $\sqrt[3]{2}$ 来表示 $\mathbb{R}$ 中的 2 的（正）立方根，那么由 $\sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上生成的域由以下元素组成

并且与上面例 4 中构造的域同构。

(4) 方程 ${x}^{3} - 2 = 0$ 在 $\mathbb{R}$ 中没有更多的解，但在 $\mathbb{C}$ 中有两个额外的解，分别由 $\sqrt[3]{2}\left( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)$ 和 $\sqrt[3]{2}\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right) (\sqrt{3}$ 给出（表示 3 的正实数平方根），这可以很容易地验证。这两个元素中的任何一个在 $\mathbb{Q}$ 上生成的域是 $\mathbb{C}$ 的子域（但不是 $\mathbb{R}$ 的子域），并且都与前一个例子（以及之前的例 4）中构造的域同构。

如定理 6 所示，不可约多项式 $p\left( x\right)$ 的根在代数上不可区分，因为通过添加不可约多项式的任意根得到的域是同构的。在上面的最后两个例子中，通过将 ${x}^{3} - 2 = 0$ 的三个可能的（复数）根之一添加到 $\mathbb{Q}$ 中得到的域都是代数同构的。这些域的区别不在于它们的代数性质，而在于它们的元素是否为实数，这涉及到连续操作。

同一个不可约多项式的不同根具有相同的代数性质这一事实可以稍微扩展如下：

设 $\varphi : F \rightarrow {F}^{\prime }$ 是域的同构。映射 $\varphi$ 诱导出一个环同构（也用 $\varphi$ 表示）

通过将 $\varphi$ 应用于多项式 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 的系数来定义。设 $p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 为一个不可约多项式，设 ${p}^{\prime }\left( x\right) \in {F}^{\prime }\left\lbrack x\right\rbrack$ 为通过将映射 $\varphi$ 应用于 $p\left( x\right)$ 的系数得到的多项式，即 $p\left( x\right)$ 在 $\varphi$ 下的像。同构 $\varphi$ 将极大理想 $\left( {p\left( x\right) }\right)$ 映射到理想 $\left( {{p}^{\prime }\left( x\right) }\right)$ ，因此这个理想也是极大理想，这表明 ${p}^{\prime }\left( x\right)$ 在 ${F}^{\prime }\left\lbrack x\right\rbrack$ 中也是不可约的。以下定理表明，通过将 $p\left( x\right)$ 的根添加到 $F$ 和将 ${p}^{\prime }\left( x\right)$ 的根添加到 ${F}^{\prime }$ 得到的域具有相同的代数结构（即，是同构的）：

定理 8。设 $\varphi : F\overset{ \sim }{ \rightarrow }{F}^{\prime }$ 为域的同构。设 $p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 为一个不可约多项式，设 ${p}^{\prime }\left( x\right) \in {F}^{\prime }\left\lbrack x\right\rbrack$ 为通过将映射 $\varphi$ 应用于 $p\left( x\right)$ 的系数得到的不可约多项式。设 $\alpha$ 为 $p\left( x\right)$ 的一个根（在某扩展域 $F$ 中），设 $\beta$ 为 ${p}^{\prime }\left( x\right)$ 的一个根（在某扩展域 ${F}^{\prime }$ 中）。则存在一个同构

将 $\alpha$ 映射到 $\beta$ 并扩展 $\varphi$ ，即限制在 $F$ 上的同构是 $\varphi$ 。

证明：如上所述，同构 $\varphi$ 引导出一个从 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 到 ${F}^{\prime }\left\lbrack x\right\rbrack$ 的自然同构，该同构将极大理想 $\left( {p\left( x\right) }\right)$ 映射到极大理想 $\left( {{p}^{\prime }\left( x\right) }\right)$。通过这些理想的商，我们得到一个域的同构

由定理6可知，左边的域同构于 $F\left( \alpha \right)$ ，同样根据该定理，右边的域同构于 ${F}^{\prime }\left( \beta \right)$ 。将这些同构复合起来，我们得到同构 $\sigma$ 。显然，这个同构限制在 $F$ 上是 $\varphi$ ，从而完成了证明。

这个扩展定理在我们后续考虑伽罗瓦理论时将非常有用。