13.5 可分和不可分扩展

可分和不可分扩展

令 $F$ 为一个域，令 $f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 为一个多项式。在 $f\left( x\right)$ 的分裂域上，我们有因式分解

其中 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\ldots ,{\alpha }_{k}$ 是分裂域中的不同元素，且 ${n}_{i} \geq 1$ 对于所有 $i$ 。回忆一下，如果 ${\alpha }_{i}$ ，则称 ${n}_{i} > 1$ 为重根；如果 ${n}_{i} = 1$ ，则称 ${n}_{i}$ 为单根。整数 ${n}_{i}$ 被称为根 ${\alpha }_{i}$ 的重数。

定义

如果一个多项式在 $F$ 上没有重根（即它的所有根都是不同的），则该多项式被称为可分多项式。如果一个多项式不可分，则称为不可分多项式。

注意，如果多项式 $f\left( x\right)$ 在一个分裂域中有不同的根，那么 $f\left( x\right)$ 在任何分裂域中都有不同的根（因为这等价于 $f\left( x\right)$ 分解为不同的线性因子，并且在 $F$ 上的任何两个分裂域之间存在同构，该同构在其根上是双射的），因此我们不需要指定包含 $f\left( x\right)$ 所有根的域。

示例

(1) 多项式 ${x}^{2} - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是可分的，因为它的两个根 $\pm \sqrt{2}$ 是不同的。对于任何 $n \geq 2$ 的多项式 ${\left( {x}^{2} - 2\right) }^{n}$ 是不可分的，因为它有重根 $\pm \sqrt{2}$ ，每个的重数为 $n$ 。

(2) 我们之前看到过，多项式 ${x}^{2} - t\left( { = {x}^{2} + t}\right)$ 在有理函数域 $F = {\mathbb{F}}_{2}\left( t\right)$ 上是不可约的，但不是可分的。如果 $\sqrt{t}$ 表示某个扩展域中的根（注意 $\sqrt{t} \notin F$ ），那么

由于 $F$ 是一个特征为2的域。因此这个不可约多项式只有一个根（重数为2），所以在 $F$ 上不是可分的。

有一个简单的准则来检查一个多项式是否有多重根。

定义

多项式的导数

被定义为多项式

这个公式不过是来自微积分中多项式导数的通常公式。它是纯代数的，因此可以应用于任意域 $F$ 上的多项式，其中解析意义上的导数（涉及极限 - 一个连续操作）可能不存在。

通常的（微积分）导数公式在这种情况下也适用，例如导数和的公式以及导数积的公式：

这些公式可以直接从多项式的定义中证明，不需要任何极限操作，作为练习留给读者。

下一个命题表明，$f\left( x\right)$ 的可分性可以通过欧几里得算法在 $f\left( x\right)$ 系数的域中确定，而无需转换到分裂域并对 $f\left( x\right)$ 进行因式分解。

命题33

多项式 $f\left( x\right)$ 有一个重根 $\alpha$ 当且仅当 $\alpha$ 也是 ${D}_{x}f\left( x\right)$ 的根，即 $f\left( x\right)$ 和 ${D}_{x}f\left( x\right)$ 都可以被 $\alpha$ 的最小多项式整除。特别地，$f\left( x\right)$ 是可分的当且仅当它与它的导数互素：$\left( {f\left( x\right) ,{D}_{x}f\left( x\right) }\right) = 1$。

证明：首先假设 $\alpha$ 是 $f\left( x\right)$ 的一个重根。那么在分裂域上，

对于某个整数 $n \geq 2$ 和某个多项式 $g\left( x\right)$ 。求导后我们得到

这表明 $\left( {n \geq 2}\right)$ 使得 ${D}_{x}f\left( x\right)$ 有 $\alpha$ 作为根。

反之，假设 $\alpha$ 是 $f\left( x\right)$ 和 ${D}_{x}f\left( x\right)$ 的根。那么写出

对于某个多项式 $h\left( x\right)$ 并求导：

由于 ${D}_{x}f\left( \alpha \right) = 0$ ，根据假设，将 $\alpha$ 代入最后一个方程表明 $h\left( \alpha \right) = 0$ 。因此 $h\left( x\right) = \left( {x - \alpha }\right) {h}_{1}\left( x\right)$ 对于某个多项式 ${h}_{1}\left( x\right)$ ，并且

这表明 $\alpha$ 是 $f\left( x\right)$ 的重根。

与 $\alpha$ 的最小多项式可整除性的等价性来自于命题 9。最后一个陈述是清晰的（令 $\alpha$ 表示 $f\left( x\right)$ 和 ${D}_{x}f\left( x\right)$ 的公共因子的任意根）。

示例

(1) 在 ${\mathbb{F}}_{p}$ 上的多项式 ${x}^{{p}^{n}} - x$ 的导数是 ${p}^{n}{x}^{{p}^{n} - 1} - 1 = - 1$ ，因为该字段具有特征 $p$ 。由于在这种情况下导数根本没有根，因此可以得出多项式没有重根，因此是可分的。

(2) 多项式 ${x}^{n} - 1$ 的导数是 $n{x}^{n - 1}$ 。在任何特征不除以 $n$（包括特征 0）的字段上，这个多项式只有一个根 0（重数为 $n - 1$ ），它不是 ${x}^{n} - 1$ 的根。因此 ${x}^{n} - 1$ 是可分的，并且有 $n$ 个不同的 ${n}^{\text{th }}$ 单位根。我们直接在 $\mathbb{Q}$ 上看到了这一点，通过在 $\mathbb{C}$ 上展示 $n$ 个不同的解。

(3) 如果 $F$ 的特征为 $p$ 且 $p$ 整除 $n$ ，那么在 $F$ 上存在少于 $n$ 个不同的 ${n}^{\text{th }}$ 单位根：在这种情况下，导数恒等于 0，因为 $n = 0$ 在 $F$ 中。实际上，在这种情况下 ${x}^{n} - 1$ 的每个根都是重根。"

推论 34

每个在特征为 0 的域上的不可约多项式（例如，$\mathbb{Q}$）都是可分的。在这样一个域上的多项式是可分的当且仅当它是不同不可约多项式的乘积。"

证明：假设 $F$ 是特征为 0 的域，$p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是次数为 $n$ 的不可约多项式。那么导数 ${D}_{x}p\left( x\right)$ 是次数为 $n - 1$ 的多项式。除常数因子外，$p\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中唯一的因子是 1 和 $p\left( x\right)$，所以 ${D}_{x}p\left( x\right)$ 必须与 $p\left( x\right)$ 互素。这表明在特征为 0 的域上的任何不可约多项式都是可分的。推论的第二个陈述由于不同的不可约多项式永远不会共有零点（根据命题 9）而变得明显。"

"推论证明中可能在特征 $p$ 下失败的点是导数 ${D}_{x}p\left( x\right)$ 的次数为 $n - 1$ 的陈述。在特征 $p$ 下，任何 ${x}^{p}$ 的幂 ${x}^{pm}$ 的导数恒等于 0：

因此，导数的次数可能减少超过一个。然而，如果不可约多项式 $p\left( x\right)$ 的导数 ${D}_{x}p\left( x\right)$ 不为零，就像之前一样，我们可以得出结论 $p\left( x\right)$ 必须是可分的。

从导数的定义中可以明显看出，如果 $p\left( x\right)$ 是一个导数为0的多项式，那么 $p\left( x\right)$ 中 $x$ 的每个指数必须是 $F$ 的特征 $p$ 的倍数：

令

我们看到 $p\left( x\right)$ 是 ${x}^{p}$ 的一个多项式，即 $p\left( x\right) = {p}_{1}\left( {x}^{p}\right)$。

现在我们证明一个关于在特征为 $p$ 的域中升 ${p}^{\text{th }}$ 次幂的简单但重要的结果。

命题35

设 $F$ 是特征为 $p$ 的域。那么对于任何 $a,b \in F$，

换句话说，由 $\varphi \left( a\right) = {a}^{p}$ 定义的 ${p}^{\text{th }}$ 次幂映射是从 $F$ 到 $F$ 的单射域同构。

证明：对于任何正整数 $n$，二项式定理对于展开 ${\left( a + b\right) }^{n}$ 都成立（通过标准的归纳法证明）在任何交换环上：

应该注意到二项式系数

是整数（回想 ${m\alpha }$ 对于 $m \in \mathbb{Z}$ 在 $\alpha$ 为任何环的元素时是定义的）并且这里它们是素域的元素。

如果 $p$ 是一个质数，那么对于 $i = 1,2,\ldots ,p - 1$ 的二项式系数 $\left( \begin{array}{l} p \\ i \end{array}\right)$ 都能被 $p$ 整除，因为对于这些 $i$ 的值，数字 $i$ ! 和 (p - i)! 只涉及小于 $p$ 的因子，因此它们与 $p$ 互质，所以不能约去表达式 $\frac{p!}{i!\left( {p - i}\right) !}$ 分子中的 $p$ 因子。因此，在特征为 $p$ 的域上，${\left( a + b\right) }^{p}$ 展开式中的所有中间项都是 0，这给出了命题的第一个方程。第二个方程是平凡的，$\varphi$ 是单射的事实也是如此。

定义

命题 35 中的映射被称为 $F$ 的弗雷德霍姆同态。

推论 36

假设 $\mathbb{F}$ 是一个特征为 $p$ 的有限域。那么 $\mathbb{F}$ 的每个元素都是 $\mathbb{F}$ 中的 ${p}^{\text{th }}$ 次幂（记作 $\mathbb{F} = {\mathbb{F}}^{p}$ ）。

证明：$\mathbb{F}$ 的弗雷德霍姆同态的单射性意味着当 $\mathbb{F}$ 是有限的时候，它也是满射，这是推论的陈述。

我们现在证明有限域上命题 34 的类似推论。

设 $\mathbb{F}$ 是一个有限域，并假设 $p\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个系数在 $\mathbb{F}$ 中的不可约多项式。如果 $p\left( x\right)$ 是不可分的，那么我们已经看到 $p\left( x\right) = q\left( {x}^{p}\right)$ 对于某个多项式 $q\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack$ 成立。设

由推论 36，每个 ${a}_{i},i = 1,2,\ldots ,m$ 都是 $\mathbb{F}$ 中的 ${p}^{\text{th }}$ 次幂，比如说 ${a}_{i} = {b}_{i}^{p}$ 。那么由命题 35 我们有

这表明 $p\left( x\right)$ 是 $\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中一个多项式的 ${p}^{\text{th }}$ 次幂，这与 $p\left( x\right)$ 的不可约性相矛盾。这证明了：

命题37

任何有限域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式都是可分的。一个在 $\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的多项式是可分的当且仅当它是 $\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中不同不可约多项式的乘积。

这个结果证明的重要部分是每个在特征 $p$ 域 $\mathbb{F}$ 中的元素都是一个 ${p}^{\text{th }}$ 次幂。这提示了以下定义：

定义

一个特征为 $p$ 的域 $K$ 被称为完满域，如果 $K$ 中的每个元素都是一个 ${p}^{\text{th }}$ 次幂，即 $K = {K}^{p}$ 。任何特征为0的域也被称为完满域。

有了这个定义，我们看到我们已经证明了每个在完满域上的不可约多项式都是可分的。如果 $K$ 不是完满的，那么存在不可分的不可约多项式，这一点不难看出。

示例：（有限域的存在唯一性）

设 $n > 0$ 为任意正整数，并考虑多项式 ${x}^{{p}^{n}} - x$ 在 ${\mathbb{F}}_{p}$ 上的分裂域。我们已经知道这个多项式是可分的，因此它有正好 ${p}^{n}$ 个根。设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是这个多项式的任意两个根，使得 ${\alpha }^{{p}^{n}} = \alpha$ 和 ${\beta }^{{p}^{n}} = \beta$ 。那么 ${\left( \alpha \beta \right) }^{{p}^{n}} = {\alpha \beta },{\left( {\alpha }^{-1}\right) }^{{p}^{n}} = {\alpha }^{-1}$ ，根据命题35也有...

因此，由 $\mathbb{F}$ 的 ${p}^{n}$ 个不同根组成的集合在它的分裂域内对加法、乘法和逆元运算是封闭的。因此 $\mathbb{F}$ 是一个子域，实际上必然是分裂域。由于元素的数量是 ${p}^{n}$ ，所以我们有 $\left\lbrack {\mathbb{F} : {\mathbb{F}}_{p}}\right\rbrack = n$ ，这表明对于任何 $n > 0$ ，都存在次数为 $n$ 的有限域 ${\mathbb{F}}_{p}$ 。

现在让 $\mathbb{F}$ 是任意特征为 $p$ 的有限域。如果 $\mathbb{F}$ 是其素子域 ${\mathbb{F}}_{p}$ 上的维度为 $n$ 的有限域，那么 $\mathbb{F}$ 精确地有 ${p}^{n}$ 个元素。由于乘法群 ${\mathbb{F}}^{ \times }$ （实际上是循环的）的阶为 ${p}^{n} - 1$ ，对于 $\mathbb{F}$ 中的每个 $\alpha \neq 0$ ，我们有 ${\alpha }^{{p}^{n} - 1} = 1$ ，因此对于每个 $\alpha \in \mathbb{F}$ 有 ${\alpha }^{{p}^{n}} = \alpha$ 。但这意味着 $\alpha$ 是 ${x}^{{p}^{n}} - x$ 的根，因此 $\mathbb{F}$ 包含在这个多项式的分裂域中。由于我们已经知道分裂域的阶为 ${p}^{n}$ ，这表明 $\mathbb{F}$ 是 ${x}^{{p}^{n}} - x$ 的分裂域。由于分裂域在同构下是唯一的，这证明了任意阶 ${p}^{n}$ 的有限域存在并且在同构下是唯一的。我们将用 ${\mathbb{F}}_{{p}^{n}}$ 表示阶为 ${p}^{n}$ 的有限域。

我们稍后会进一步考虑有限域。

我们现在进一步研究特征为 $p$ 的域上不可分不可约多项式的结构。我们上面已经看到，如果 $p\left( x\right)$ 是一个不可约多项式但不是可分的，那么它的导数 ${D}_{x}p\left( x\right)$ 恒等于 0，因此 $p\left( x\right) = {p}_{1}\left( {x}^{p}\right)$ 对于某个多项式 ${p}_{1}\left( x\right)$ 。多项式 ${p}_{1}\left( x\right)$ 本身可能是可分的也可能不是。如果不是，那么它也是 ${x}^{p},{p}_{1}\left( x\right) = {p}_{2}\left( {x}^{p}\right)$ 中的一个多项式，因此 $p\left( x\right)$ 是 ${x}^{{p}^{2}} : p\left( x\right) = {p}_{2}\left( {x}^{{p}^{2}}\right)$ 中的一个多项式。继续这样下去，我们发现存在一个唯一确定的 $p$ 的幂 ${p}^{k}$ ，使得 $p\left( x\right) = {p}_{k}\left( {x}^{{p}^{k}}\right)$ 其中 ${p}_{k}\left( x\right)$ 具有非零导数。显然 ${p}_{k}\left( x\right)$ 是不可约的，因为 ${p}_{k}\left( x\right)$ 的任何分解在将 $x$ 替换为 ${x}^{{p}^{k}}$ 后，将立即暗示不可约的 $p\left( x\right)$ 的分解。因此，${p}_{k}\left( x\right)$ 是可分的。我们总结如下：

命题 38

设 $p\left( x\right)$ 是特征为 $p$ 的域 $F$ 上的一个不可约多项式。那么存在一个唯一的整数 $k \geq 0$ 和一个唯一的不可约可分多项式 ${p}_{\text{sep }}\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ ，使得

定义

设 $p\left( x\right)$ 是特征为 $p$ 的域上的一个不可约多项式。上一个命题中 ${p}_{\text{sep }}\left( x\right)$ 的次数称为 $p\left( x\right)$ 的可分次数，记作 ${\deg }_{s}p\left( x\right)$ 。命题中的整数 ${p}^{k}$ 称为 $p\left( x\right)$ 的不可分次数，记作 ${\deg }_{i}p\left( x\right)$ 。

从定义和命题中我们可以看出，$p\left( x\right)$ 是可分的当且仅当其不可分度是1，当且仅当其次数等于其可分次数。此外，在关系 $p\left( x\right) = {p}_{\text{sep }}\left( {x}^{{p}^{k}}\right)$ 中计算次数时，我们发现

示例

(1) 考虑上述的 $p\left( x\right) = {x}^{2} - t$ 多项式在 $F = {\mathbb{F}}_{2}\left( t\right)$ 上，其导数为0，因此不可分（正如我们之前确定的）。这里 ${p}_{\text{sep }}\left( x\right) = x - t$ 的不可分度为2。

(2) $p\left( x\right) = {x}^{{2}^{m}} - t$ 多项式在 $F = {\mathbb{F}}_{2}\left( t\right)$ 上是不可约的，具有相同的可分多项式部分，但不可分度为 ${2}^{m}$。

(3) $\left( {{x}^{{p}^{2}} - t}\right) \left( {{x}^{p} - t}\right)$ 多项式在 $F = {\mathbb{F}}_{p}\left( t\right)$ 上有两个不可分的不可约因子，因此不可分。这个多项式不能写成 ${f}_{\text{sep }}\left( {x}^{{p}^{k}}\right)$ 的形式，其中 ${f}_{\text{sep }}\left( x\right)$ 是可分的，这就是我们上面限制为不可约多项式的原因。这个例子也表明，没有类似因式分解来定义一般多项式的可分和不可分次数。

可分性的概念可以推广到由这些多项式的根生成的域。

定义。若域 $K$ 上的每个元素都是 $F$ 上可分多项式的根（等价地，$K$ 中每个元素在 $F$ 上的最小多项式是可分的），则称域 $K$ 在 $F$ 上是可分的（或可分代数的）。不可分的域称为不可分域。

我们已经看到，对于完美域的有限扩张，可分性问题是很直接的，因为对于这些域，代数元素的最小多项式是不可约的，因此是可分的。

推论39

每个完美域的有限扩张都是可分的。特别地，每个 $\mathbb{Q}$ 或有限域的有限扩张都是可分的。

我们将在发展一些伽罗瓦理论之后，特别是定义扩张 $K/F$ 的可分和不可分度，再考虑可分和不可分扩张。