14.9 超越扩张，不可分扩张，无限伽罗瓦群

超越扩张，不可分扩张，无限伽罗瓦群

本节收集了一些关于任意扩张 $E/\dot{F}$ 的结果。这些结果补充了前几节的内容，完成了对任意（可能是无限的）扩张分解的基本描述。由于本节主要目的是作为一个概述，因此没有包含任何证明；当读者能够容易地提供这些证明时，我们会在正文或（带有提示的）练习中指明。

在本节中 $E/F$ 是一个场的扩张。回顾一下，$E$ 中的元素，如果对 $F$ 不是代数的，则称为在 $F$ 上超越。请记住，涉及超越元素的扩张总是无限度的。我们通常保留“$t$ 是 $F$ 上的‘不定元’”这个表达，当我们考虑计算 $t$ 时。然而，从域理论的角度来看，超越和不确定是同义的（因此 $\mathbb{Q}\left( \pi \right)$ 的子域与 $\mathbb{R}$ 的域 $\mathbb{Q}\left( t\right)$ 是同构的）。

定义。

(1) $\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right\}$ 的一个子集被称为在 $F$ 上代数独立的，如果不存在非零多项式 $f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) \in F\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right\rbrack$ 使得 $f\left( {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right) = 0$ 。$E$ 的一个任意子集 $S$ 被称为在 $F$ 上代数独立的，如果它的每个有限子集都是代数独立的。$S$ 的元素被称为在 $F$ 上的独立超越元。

(2) $E/F$ 的超越基是 $E$ 的一个极大子集（关于包含关系），在该子集上相对于 $F$ 是代数独立的。

注意，如果 $E/F$ 是代数的，那么空集是 $E$ 的唯一代数独立子集。特别是，代数独立集中的元素必然是超越的。此外，可以轻易验证，当且仅当每个 $s \in S$ 相对于 $F\left( {S-\{ s\} }\right)$ 是超越的时，$S \subseteq E$ 是相对于 $F$ 的代数独立集。还可以轻易地练习看出，当且仅当 $S$ 是相对于 $F$ 的代数独立超越集，且 $E$ 相对于 $F\left( S\right)$ 是代数的时，$S$ 是 $E/F$ 的超越基。

定理。扩展 $E/F$ 有一个超越基，且 $E/F$ 的任意两个超越基具有相同的基数。

证明：第一个陈述是标准的 Zorn 引理论证。第二个陈述的证明使用了与证明向量空间的任意两个基具有相同基数时相同的“替换引理”思想。

定义。一个超越基对于 $E/F$ 的基数称为 $E/F$ 的超越度。

代数扩张恰好是超越度为 0 的扩张。

本定理的一个特殊情形是当 $E$ 在 $F$ 上是有限生成的，即 $E = F\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\ldots ,{\alpha }_{n}}\right)$ ，对于某些（不一定是代数无关的）$E$ 中的元素 ${\alpha }_{1},\ldots ,{\alpha }_{n}$ 。显然，我们可以重新编号 ${\alpha }_{1},\ldots ,{\alpha }_{n}$ 使得 ${\alpha }_{1},\ldots ,{\alpha }_{m}$ 是独立的无理数，而 ${\alpha }_{m + 1},\ldots ,{\alpha }_{n}$ 是在 $F\left( {{\alpha }_{1},\ldots ,{\alpha }_{m}}\right)$ 上的代数数（因此 $E$ 是后者的有限扩展）。在这种情况下，$E$ 被称为在 $F$ 上的 $m$ 变量的函数域。这样的域在代数几何中作为 $m$ 维曲面上的函数域起着基本作用。例如，当 $F = \mathbb{C}$ 和 $m = 1$ 时，这些域在分析中作为紧致黎曼曲面上的亚纯函数域出现。

注意，如果 ${S}_{1}$ 和 ${S}_{2}$ 是 $E/F$ 的超越基，并不一定意味着 $F\left( {S}_{1}\right) = F\left( {S}_{2}\right)$ 。例如，如果 $t$ 在 $\mathbb{Q},\{ t\}$ 上是超越的，并且 $\left\{ {t}^{2}\right\}$ 都是 $\mathbb{Q}\left( t\right) /\mathbb{Q}$ 的超越基，但（正如我们很快将看到的）$\mathbb{Q}\left( {t}^{2}\right)$ 是 $\mathbb{Q}\left( t\right)$ 的真子域。

现在我们看到，如果 ${x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}$ 是在 $F$ 上的不定元，

是次数为 $n$ 的通用多项式，那么 $n$ 的基本对称函数 ${s}_{1},{s}_{2},\ldots ,{s}_{n}$ 在 ${x}_{i}$ 中的集合也是 $F$ 上的独立超越数。这是因为 ${x}_{1},\ldots ,{x}_{n}$ 是 $E = F\left( {{x}_{1},\ldots ,{x}_{n}}\right)$ 在 $F$ 上的超越基（因此超越次数是 $n$），而 $E$ 在 $F\left( {{s}_{1},\ldots ,{s}_{n}}\right)$ 上是代数的（次数为 $n$！）。该定理迫使 ${s}_{1},\ldots ,{s}_{n}$ 也成为此扩展的超越基（特别是，它们是独立的超越数）。因此，次数为 $n$ 的通用多项式在 $F$ 上可以等价地定义为取 ${a}_{1},\ldots ,{a}_{n}$ 为任意的独立超越数（或不定元）并让

其中 $f$ 的根表示为 ${x}_{1},\ldots ,{x}_{n}$（和 ${s}_{i} = {\left( -1\right) }^{i}{a}_{i}$）。

定义。如果一个扩展 $E/F$ 有一个超越基 $S$ 使得 $E = F\left( S\right)$，则该扩展称为纯超越扩展。

在先前的讨论中，$F\left( {{x}_{1},\ldots ,{x}_{n}}\right)$ 和 $F\left( {{s}_{1},\ldots ,{s}_{n}}\right)$ 都在 $F$ 上是纯超越的。作为一个练习（如下），可以证明 $\mathbb{Q}\left( {t,\sqrt{{t}^{3} - t}}\right)$ 不是 $\mathbb{Q}$ 的纯超越扩展，尽管它不包含除了 $\mathbb{Q}$ 本身中的元素之外的其他在 $\mathbb{Q}$ 上是代数的元素（即，将一般扩展分解为纯超越扩展后跟一个代数扩展的过程通常不能反过来，使得代数部分先出现）。

如果 $E$ 是 $F$ 的纯超越扩张，其超越度为 $n = 1$ 或 2，并且 $L$ 是一个中间域，$F \subseteq L \subseteq E$ 具有相同的超越度，那么 $L$ 再次是 $F$ 的纯超越扩张（Lüroth $\left( {n = 1}\right)$ ，Castelnuovo $\left( {n = 2}\right)$）。然而，如果超越度为 $\geq 3$，这个结果不成立，尽管构造 $L$ 不是纯超越扩张的例子是困难的。对于超越度为 1 的扩张，中间域由以下定理描述。

定理。设 $t$ 在 $F$ 上是超越的。

(1) （Lüroth）如果 $F \subseteq K \subseteq F\left( t\right)$，那么 $K = F\left( r\right)$，对于某个 $r \in F\left( t\right)$。特别地，包含在 $F\left( t\right)$ 中的每个非平凡扩张 $F$ 在 $F$ 上是纯超越的。

(2) 如果 $P = P\left( t\right) ,Q = Q\left( t\right)$ 是 $F\left\lbrack t\right\rbrack$ 中非零的互质多项式，且不都是常数，

证明：该定理 (2) 的证明概述在 13.2 节的练习 18 中。

由该定理的第 (2) 部分我们看到 $F\left( {P/Q}\right) = F\left( t\right)$ 当且仅当 $P,Q$ 是非零的互质多项式，且次数为 $\leq 1$（不都是常数）。因此 $F\left( r\right) = F\left( t\right)$ 当且仅当 $r = \frac{{at} + b}{{ct} + d}$，其中 $a,b,c,d \in F$ 和 ${ad} - {bc} \neq 0$（称为 $t$ 的分式线性变换）。对于任何 $r \in F\left( t\right) - F$，映射 $t \mapsto r$ 扩展到 $F\left( t\right)$ 到其自身的嵌入，该嵌入在 $F$ 上是恒等映射。这种嵌入在分式线性变换上恰好是满射（即，是 $F\left( t\right)$ 的自同构）。此外，该映射

其中 ${\sigma }_{A}$ 表示由映射 $t$ 到 $\left( {{at} + b}\right) /\left( {{ct} + d}\right)$ 定义的 $F\left( t\right)$ 的自同构，是一个满同态，其核由标量矩阵组成。因此

其中 ${PG}{L}_{2}\left( F\right) = G{L}_{2}\left( F\right) /\left\{ {{\lambda I} \mid \lambda \in {F}^{ \times }}\right\}$ 给出了这个超越扩张的自同构群（参见第1节的练习8）。

当 $\mathbb{F}$ 是一个有限域，其阶为 $q,\operatorname{Aut}\left( {\mathbb{F}\left( t\right) /\mathbb{F}}\right) \cong {PG}{L}_{2}\left( \mathbb{F}\right)$ 时，是一个有限群，其阶为 $q\left( {q - 1}\right) \left( {q + 1}\right)$ 。根据第11个推论，如果 $K$ 是 $\operatorname{Aut}\left( {\mathbb{F}\left( t\right) /\mathbb{F}}\right)$ 的固定域，那么 $\mathbb{F}\left( t\right)$ 在 $K$ 上是伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群等于 $\operatorname{Aut}\left( {\mathbb{F}\left( t\right) /\mathbb{F}}\right)$ 。特别是，在这种情况下，$\operatorname{Aut}\left( {\mathbb{F}\left( t\right) /\mathbb{F}}\right)$ 的固定域不等于 $\mathbb{F}$。

这也提供了伽罗瓦对应关系的更多例子，这些例子可以完全写出 $q$ 的小值。例如，如果 $q = \left| \mathbb{F}\right| = 2,{\operatorname{PGL}}_{2}\left( \mathbb{F}\right)$ 是非阿贝尔群，其阶为6，因此同构于 ${S}_{3}$ ，并且具有以下子群格：

域 $\mathbb{F}\left( t\right)$ 在 $\operatorname{Aut}\left( {\mathbb{F}\left( t\right) /\mathbb{F}}\right)$ 的固定域 $K$ 上的次数为6，子域的格 $K \subseteq L \subseteq \mathbb{F}\left( t\right)$ 与 ${S}_{3}$ 的子群格对偶。一个循环子群 $\langle \sigma \rangle$ 的固定域可以通过找到一个有理函数 $r$ 在 $t$ 中被 $\sigma$ 固定，使得 $\left\lbrack {\mathbb{F}\left( t\right) : \mathbb{F}\left( r\right) }\right\rbrack = \left| \sigma \right|$ 来容易地找到（通过前一个定理）。例如，如果 $\sigma : t \mapsto 1/\left( {1 + t}\right)$ ，那么 $\sigma$ 的阶为3。有理函数

由 $\sigma$ 和 $\left\lbrack {\mathbb{F}\left( t\right) : \mathbb{F}\left( r\right) }\right\rbrack = 3$（定理的第（2）部分）确定。因为 $\mathbb{F}\left( r\right)$ 包含在 $\langle \sigma \rangle$ 的固定字段中，且 $\mathbb{F}\left( t\right)$ 对固定字段的次数为 $3,\mathbb{F}\left( r\right)$ 是 $\langle \sigma \rangle$ 的固定字段。这样，可以明确描述出包含 $K$ 的 $\mathbb{F}\left( t\right)$ 的所有子字段的格，如图6所示。

$\mathbb{Q}$ 的纯超越扩张在将有限群实现为 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群的问题中起着重要作用。我们描述了希尔伯特的一个深刻结果，该结果是这一研究领域的基础。如果 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}$ 是域 $F$ 上的独立的不定元，我们可以对 ${a}_{1},\ldots ,{a}_{n}$ 在 $F$ 的任何元素上进行求值（或特化），即用 $F$ 中的值替换“变量” ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}$ 。如果 $E$ 是 $F\left( {{a}_{1},\ldots ,{a}_{n}}\right)$ 的伽罗瓦扩张，那么 $E$ 是一个多项式的分裂域，其系数位于 $F\left\lbrack {{a}_{1},\ldots ,{a}_{n}}\right\rbrack$ 中。对 ${a}_{1},\ldots ,{a}_{n}$ 进行到 $F$ 的任何特化都会将这个多项式映射为一个系数位于 $F$ 中的多项式。对 $E$ 的特化是所得特化多项式的分裂域。

定理。（希尔伯特）设 ${x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的独立超越数，设 $E =$ $\mathbb{Q}\left( {{x}_{1},\ldots ,{x}_{n}}\right)$ ，并且设 $G$ 是 $E$ 的一个有限自同构群，其固定域为 $K$ 。如果 $K$ 是 $\mathbb{Q}$ 的纯超越扩张，其超越基为 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}$ ，那么在 $\mathbb{Q}$ 中存在无限多个 ${a}_{1},\ldots ,{a}_{n}$ 的特化，使得 $E$ 特化为 $\mathbb{Q}$ 的一个伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于 $G$ 。

希尔伯特定理为判断特化扩张不崩溃的充分条件。一般来说，特化扩张的伽罗瓦群是 $G$ 的一个子群（参见命题19），并且可能是 $G$ 的一个真子群。同时已知，固定

场 $K$ 不必总是 $\mathbb{Q}$ 的纯粹超越扩张。当 $G$ 是阶数为47的循环群时，此类情况的例子就会出现。

这个定理可以用来为命题42提供另一个证明：

推论。 ${S}_{n}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群，对于所有 $n$ 。

推论的证明：我们已经证明了 ${S}_{n}$ 以明显的方式作用于 $\mathbb{Q}\left( {{x}_{1},\ldots ,{x}_{n}}\right)$ 的固定场在 $\mathbb{Q}$ 上是纯超越的（以基本对称函数作为超越基），因此希尔伯特定理立即意味着该推论成立。

"$K$ 是纯超越的假设对于希尔伯特定理的证明至关重要。每个有限群同构于 ${S}_{n}$ 的一个子群，因此对于某些 $n$ ，它作用于 $\mathbb{Q}\left( {{x}_{1},\ldots ,{x}_{n}}\right)$。然而，甚至对于 ${S}_{n}$ 的子群 ${A}_{n}$，在显然的作用下其固定域是否是 $\mathbb{Q}$ 的纯超越扩张目前尚不清楚（尽管通过其他方法已知 ${A}_{n}$ 对于所有 $n$ 是 $\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦群）。因此，在这一研究领域有许多重要的未解决问题。"

"还应注意到，当基域 $\mathbb{Q}$ 被任意域 $F$ 替换时，希尔伯特定理不成立（例如，假设 $F$ 是代数闭域）。特别是，如前所述，第6节中的通用多项式 $f\left( x\right)$ 对于任意 $F$ 在 $F\left( {{a}_{1},\ldots ,{a}_{n}}\right)$ 上的伽罗瓦群是 ${S}_{n}$，但当 $F$ 是有限域时，从其分裂域得到的特化扩张总是循环的。"

"接下来，我们扩展第13.5节中描述的不可分扩张理论。设 $p$ 是一个素数，$F$ 是特征为 $p$ 的域。"

"定义。如果一个代数扩张 $E/F$ 对于每个 $\alpha \in E$ 的最小多项式在 $F$ 上只有一个不同的根，则称该扩张为纯不可分扩张。"

"很容易看出以下情况是等价的："

"(1) $E/F$ 是纯不可分的"

"(2) 如果 $\alpha \in E$ 在 $F$ 上可分，那么 $\alpha \in F$..."

如果 $\alpha \in E$ ，那么 ${\alpha }^{{p}^{n}} \in F$ 对于某些 $n$ （取决于 $\alpha$），并且 ${m}_{\alpha ,F}\left( x\right) = {x}^{{p}^{n}} - {\alpha }^{{p}^{n}}$ 。

下面的简单命题描述了可分扩展和纯粹不可分扩展的复合。

命题。如果 ${E}_{1}$ 和 ${E}_{2}$ 是 $E$ 的子域，它们都是 $F$ 的可分扩展（或者都是纯粹不可分扩展），那么它们的复合 ${E}_{1}{E}_{2}$ 在 $F$ 上是可分的（分别是纯粹不可分的）。

证明：练习。

这立即导致以下结果。

命题。设 $E/F$ 为代数扩展。那么存在唯一的域 ${E}_{\text{sep }}$ ，使得 ${E}_{\text{sep }}$ 在 $F$ 上是可分的，并且 $E$ 在 ${E}_{\text{sep }}$ 上是纯粹不可分的。域 ${E}_{\text{sep }}$ 是 $E$ 中在 $F$ 上可分的元素集合。

${E}_{\text{sep }}/F$ 的次数被称为 $E/F$ 的可分次数，$E/{E}_{\text{sep }}$ 的次数被称为 $E/F$ 的不可分次数（通常分别表示为 ${\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{s}$ 和 ${\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{i}$）。这两个次数的乘积是（普通）次数。命题立即给出以下推论。

推论。可分次数（分别是不可分次数）是乘法的。

当 $E$ 由 $F$ 生成的不可约多项式 $p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 的根时，扩展 $E/F$ 的可分次数和不可分次数与第13.5节中定义的多项式 $p\left( x\right)$ 的可分次数和不可分次数相同。

该命题断言，任何代数扩张都可以分解为一个可分扩张和一个纯粹不可分扩张的序列。本节末尾的练习3概述了一个示例，说明这种分解通常不能逆过来，即存在一个扩张，它不是一个纯粹不可分扩张的可分扩张。我们很快就会陈述一个扩张的条件，在这些条件下，可分扩张和纯粹不可分子扩张的分解可以被逆过来。

我们现在知道，任意扩张 $E/F$ 可以分解为一个纯粹超越扩张 $F\left( S\right)$ 的 $F$ ，接着是一个 $F\left( S\right)$ 的可分扩张 ${E}_{1}$ ，然后是一个纯粹不可分扩张 $E/{E}_{1}$ 。在某些情况下，通过选择一个明智的超越基，可以消除代数扩张在“顶部”的不可分性：

命题。如果 $E$ 是一个完美域 $F$ 的有限生成扩张，那么存在一个超越基 $T$ 的 $E/F$ ，使得 $E$ 是一个 $F\left( T\right)$ 的可分（代数）扩张。

如命题中描述的超越基 $T$ 被称为分离超越基。本节末尾的练习4用一个非平凡示例说明了这一点。

回顾一下，一个扩张 $E/F$ 是正规扩张，如果它是某些（可能是无限的）多项式集在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 上的分裂域（特别是，正规扩张是代数的，但不一定是有限或可分的）。我们之前使用了同义的术语分裂域，并且在这里重新引入了术语正规，这是在任意代数扩张的背景下，因为它在文献中经常被使用，通常是在一个字段嵌入到代数闭包的背景下。尽管以下等价集合可以从前面几节中推断出来，但读者应该写出完整的证明，检查论证对于无限和不可分扩张都适用：

命题。设 $E/F$ 为任意的代数扩张，设 $\Omega$ 为 $E$ 的代数闭包。以下条件是等价的：

(1) $E/F$ 是正规扩张（即，是某些在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的多项式集在 $F$ 上的分裂域）

(2) 每当 $\sigma : E \rightarrow \Omega$ 是一个嵌入，使得 ${\left. \sigma \right| }_{F}$ 是恒等映射时，$\sigma \left( E\right) = E$

(3) 每当不可约多项式 $f\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 在 $E$ 中有一个根时，它在 $E$ 中有所有根。

一般地，任何将正规扩张 $E/F$ 嵌入到 $E$ 的代数闭包中并扩展了 $F$ 的恒等嵌入的嵌入是 $E$ 的自同构，即，是 $\operatorname{Aut}\left( {E/F}\right)$ 的一个元素。此外，这样的自同构的数量等于 $E/F$ 的可分度，前提是后者是有限的：

如果 $E/F$ 是正规扩张且 ${\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{s}$ 是有限的，那么 $\;\left| {\operatorname{Aut}\left( {E/F}\right) }\right| = {\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{s}$ 。

如果 ${\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{s}$ 是无限的，我们很快将看到 $\left| {\operatorname{Aut}\left( {E/F}\right) }\right|$ 也是无限的，但不必具有相同的基数。

如果 $E/F$ 是一个其可分度有限的正规扩展，设 ${E}_{0}$ 为 Aut $\left( {E/F}\right)$ 的固定域。根据推论 ${11},E/{E}_{0}$ 是一个（可分的）伽罗瓦扩展，其次数等于 $\left| {\operatorname{Aut}\left( {E/F}\right) }\right|$ 。因此 ${E}_{0}/F$ 必须是纯粹不可分的（次数等于 ${\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{i}$ ），即，对于正规扩展，扩展的可分部分和纯粹不可分部分可以颠倒。更准确地说，我们很容易得到以下命题。

命题。如果 $E/F$ 是正规的，且 ${\left\lbrack E : F\right\rbrack }_{s} < \infty$ ，那么 $E = {E}_{sep}{E}_{pi}$ ，其中 ${E}_{pi}$ 是 $F\left( {E}_{pi}\right.$ 的纯粹不可分扩展，包含 $E$ 上所有纯粹不可分元素 $F$ ）和 ${E}_{\text{sep }} \cap {E}_{\text{pi }} = F$ 。

最后，我们提及伽罗瓦理论如何推广到无限扩展。

定义。如果扩展 $E/F$ 是代数的、正规的且可分的，则称为伽罗瓦扩展。在这种情况下 $\operatorname{Aut}\left( {E/F}\right)$ 被称为扩展的伽罗瓦群，并记作 $\operatorname{Gal}\left( {E/F}\right)$ 。

对于无限扩展，不需要在伽罗瓦群的所有子集与包含 $E$ 的所有子域之间建立双射关系，如下例所示。

令 $E$ 是通过将所有正有理数的平方根附加到 $\mathbb{Q}$ 上得到的 $\mathbb{R}$ 的子域。容易看出，$E$ 也可以描述为多项式集合 ${x}^{2} - p$ 的分裂域，其中 $p$ 遍历 ${\mathbb{Z}}^{ + }$ 中的所有素数。注意 $E$ 是 $\mathbb{Q}$ 的一个（可数的）无限伽罗瓦扩张。由于 $E$ 的每个自同构 $\sigma$ 都由其对素数的平方根的作用确定，且 $\sigma$ 要么固定这些平方根，要么对它们取反，${\sigma }^{2}$ 是恒等自同构。因此 $\operatorname{Aut}\left( E\right)$ 是一个无限的初等阿贝尔2-群。因此 $\operatorname{Aut}\left( E\right)$ 是 ${\mathbb{F}}_{2}$ 上的一个无限维向量空间。根据关于对偶空间的部分（第11.3节）的练习，$\operatorname{Aut}\left( E\right)$ 到 ${\mathbb{F}}_{2}$ 的非零同态的数量是不可数的，从而它们的核（余维数为1的子空间）在数量上是不可数的（且各不相同）。因此 $\operatorname{Aut}\left( E\right)$ 有不可数多个指数为2的子群，而 $\mathbb{Q}$ 只有可数多个二次扩张。

基本问题是许多（大多数）$\mathrm{{Gal}}\left( {E/F}\right)$的子群并不以双射方式对应于包含$F$的$E$的子域。为了挑选出$\operatorname{Gal}\left( {E/F}\right)$的“正确”子群集合，我们必须在这个群上引入一个拓扑（称为Krull拓扑）。拓扑空间中闭子集集合的公理正是用来区分相关子群的簿记工具（这些在15.2节中列出）。有限扩展的Galois理论迫使某些有限指数的子群成为闭集，这些闭集反过来又决定了整个群的拓扑（正如我们所预期的，因为$F$内的每个扩展都是有限扩展的合成）。此外，$E/F$的Galois群是有限群集合$\operatorname{Gal}\left( {K/F}\right)$的逆极限，其中$K$遍历所有包含在$E$中的$F$的有限Galois扩展（参见练习10，第7.6节）。

定理。（Krull）设$E/F$是一个Galois扩展，其Galois群为$G$。通过取$G$的固定子群作为闭集的基，将这些子群以及它们的左和右陪集一起作为基，对$G$进行拓扑化。那么，在这个（“Krull”）拓扑下，$G$的闭子群与包含$F$的$E$的子域一一对应，并且相应的格是互为对偶的。$G$的闭正规子群对应于$E$中$F$的正规扩展。

当前研究的一个重要领域是描述（作为一个拓扑群）某些字段扩展的伽罗瓦群，例如 $\bar{F}/F$ ，其中 $\bar{F}$ 是 $F$ 的代数闭包。对于当 $F = \mathbb{Q}$ 时的这个群所知甚少（特别是，其有限指数正规子群，即哪些有限群作为 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群出现，均未知）。如果 $E$ 是有限字段 ${\mathbb{F}}_{p}$ 的代数闭包，这个扩展的伽罗瓦群是具有弗罗贝尼乌斯自同构作为拓扑生成元的拓扑循环群 $\widehat{\mathbb{Z}}$。群 $\widehat{\mathbb{Z}}$ 是一个不可数群（特别地，不与 $\mathbb{Z}$ 同构），具有每个有限指数的闭子群都是正规且其商群为循环的性质。注意 $\widehat{\mathbb{Z}}$ 也必须有非平凡的无穷闭子群（与 $\mathbb{Z}$ 不同），因为 $E$ 包含了 ${\mathbb{F}}_{p}$ 上的无限子字段（例如所有 $q$ 次方扩展的复合，对于任何素数 $q$ ——这个 ${\mathbb{F}}_{p}$ 的伽罗瓦扩展具有伽罗瓦群 ${\mathbb{Z}}_{q}$ ，即 $q$ 进整数，如第7.6节的练习11所述）。