解析几何

柯西--施瓦茨不等式的一种证明 这里给出柯西--施瓦茨不等式的实数域表示和向量表示，并给出基于向量的证明。 实数域表示 设$a_i, b_i \in \boldsymbol{R} (i=1,2,\cd

两向量的点积（内积） 点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。 通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出， 也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。

平面上点到直线的距离公式证明，我们这里利用向量工具来证明。最后的式子就是需要证明的点到直线的距离公式。

计算两个向量的夹角 我们可以通过点积计算两个向量的夹角。具体的：两个向量$\mathbf{b}$和$\mathbf{c}$之间夹角的余弦等于归一化后的向量的点积。

三角函数的加法定理及证明 两个角$\alpha$、$\beta$的和或者差的三角函数，可以用$\alpha$、$\beta$角的三角函数的代数式来表示。 $$ \sin(\alpha + \beta)

余弦定理（cosine law）的证明 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。