计算两个向量的夹角计算两个向量的夹角我们可以通过点积计算两个向量的夹角。具体的：两个向量$\mathbf{b}$和$\

计算两个向量的夹角

我们可以通过点积计算两个向量的夹角。

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上图给出二维的情况，其中向量 $\mathbf{b}$ 和向量 $\mathbf{c}$ 与 $x$ 轴的夹角分别为 $\phi_{b}$ 和 $\phi_{c}$ ，从基本三角函数可得：

\mathbf{b} = (|\mathbf{b}| \cos \phi_{b}, |\mathbf{b}| \sin \phi_{b}) \\ \mathbf{c} = (|\mathbf{c}| \cos \phi_{c}, |\mathbf{c}| \sin \phi_{c})

我们把上式代入点积公式，得到

\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos \phi_{b} \cos \phi_{c} + |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \sin \phi_{b} \sin \phi_{c}

再次应用三角函数加法定理，得到

\begin{aligned} \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} & = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| ( \cos \phi_{b} \cos \phi_{c} + \sin \phi_{b} \sin \phi_{c} ) \\ & = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos ( \phi_{c} - \phi_{b} ) \end{aligned}

最终，对任意两个向量 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ ，我们有：

\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos ( \theta )

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 之间的夹角。

为了得到更简洁的形式，在等式两边同除以 $|\mathbf{b}| |\mathbf{c}|$ 并使用单位向量的表示形式 $\hat{\mathbf{b}} = \mathbf{b} / |\mathbf{b}|$ ，我们得到：

\cos ( \theta ) = \hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{c}}

总结如下：两个向量 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 之间夹角的余弦等于归一化后的向量的点积。

注：同样的结果也适用于三维、四维乃至任意多维，前提是两个向量具有相同的维度。

《计算机图形学（OpenGL版）（第3版）》4.3.2 两个向量的夹角