两向量的点积（内积）

hexu1985
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两向量的点积（内积）

点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。 通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出， 也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。

我们分别给出两种定义：

代数定义

设三维空间内有两个向量u=(u1,u2,u3)\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)和v=(v1,v2,v3)\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) ， 定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

u⋅v=u1v1+u2v2+u3v3\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

更一般地，n维向量的内积定义如下：

u⋅v=∑i=1nuivi=u1v1+u2v2+⋯+unvn\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum\limits_{i=1}^n u_i v_i = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n

几何定义

设三维空间内有两个向量u=(u1,u2,u3)\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)和v=(v1,v2,v3)\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)， ∣u∣|\mathbf{u}|和∣v∣|\mathbf{v}|表示向量u\mathbf{u}和v\mathbf{v}的大小， 它们的夹角为θ(0≤θ≤π)\theta (0 \leq \theta \leq \pi)，则内积定义为以下实数：

u⋅v=∣u∣∣v∣cos⁡(θ)\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos(\theta)

该定义只对二维和三维空间有效。

下面我们给出代数定义与几何定义的等价性推导，我们以下图为例：

dot_product_of_two_vectors.png

我们从两个向量u\mathbf{u}和v\mathbf{v}中构建一个三角形。

从三角原理中，我们知道三角形的高h可表示为

h=∣u∣sin⁡(θ)h = |\mathbf{u}| \sin(\theta)

两边平方得到

h2=∣u∣2sin⁡2(θ)h^{2} = |\mathbf{u}|^{2} \sin^{2}(\theta)

根据三角恒等式

sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1

有

h2=∣u∣2(1−cos⁡2(θ))(1)h^{2} = |\mathbf{u}|^{2} (1 - \cos^{2}(\theta)) \tag{1}

在图中，相对于其他直角三角形，也可以表示高h，并结合勾股定理：

h2=∣u−v∣2−(∣v∣−∣u∣cos⁡(θ))2(2)h^{2} = |\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2} - (|\mathbf{v}| - |\mathbf{u}| \cos(\theta))^{2} \tag{2}

令式(1)和式(2)相等并简化，得到表达式

∣u∣2(1−cos⁡2(θ))=∣u−v∣2−(∣v∣−∣u∣cos⁡(θ))2⇓∣u∣2−∣u∣2cos⁡2(θ)=∣u−v∣2−∣v∣2+2∣u∣∣v∣cos⁡(θ)−∣u∣2cos⁡2(θ)|\mathbf{u}|^{2} (1 - \cos^{2}(\theta)) = |\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2} - (|\mathbf{v}| - |\mathbf{u}| \cos(\theta))^{2} \\ \Downarrow \\ |\mathbf{u}|^{2} - |\mathbf{u}|^{2} \cos^{2}(\theta) = |\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2} - |\mathbf{v}|^{2} + 2 |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos(\theta) - |\mathbf{u}|^{2} \cos^{2}(\theta) \\
⇓\Downarrow \\
∣u−v∣2=∣u∣2+∣v∣2−2∣u∣∣v∣cos⁡(θ)(3)|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2} = |\mathbf{u}|^{2} + |\mathbf{v}|^{2} - 2 |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos(\theta) \tag{3}

式(3)是不是很眼熟，对！就是向量形式的余弦定理公式。

可以用公式将∣u−v∣2|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2}明确写成另一种表达式

∣u−v∣2=(u−v)⋅(u−v)|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2} = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \\
⇓\Downarrow \\
∣u−v∣2=∣u∣2−2u⋅v+∣v∣2(4)|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^{2} = |\mathbf{u}|^{2} - 2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + |\mathbf{v}|^{2} \tag{4}

通过令式(3)和式(4)相等，得

u⋅v=∣u∣∣v∣cos⁡(θ)(5)\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos(\theta) \tag{5}

式(5)就是点积的几何定义。

参考资料:

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