柯西--施瓦茨不等式柯西--施瓦茨不等式的一种证明这里给出柯西--施瓦茨不等式的实数域表示和向量表示，并给出基于向量的

柯西--施瓦茨不等式

柯西--施瓦茨不等式有很多表示方式，我们只介绍实数域表示和向量表示，并给出基于向量的证明。

实数域表示

设 $a_i, b_i \in \boldsymbol{R} (i=1,2,\cdots,n)$ ，则

(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2} \leq (\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2) (\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^2) \tag{1}

也有将不等式两边取平方根的表示方式：

\left| \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \right| \leq (\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2)^{\frac{1}{2}} (\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^2)^{\frac{1}{2}} \tag{2}

或者

\left| \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \right| \leq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2) (\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^2)} \tag{3}

式(1)、(2)、(3)是完全等价的。

向量表示

在n维欧氏空间中，对任意向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ ，有

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^{2} \leq |\mathbf{a}|^{2} |\mathbf{b}|^{2} \tag{4}

下面我们只给出三维向量空间下的证明：

证明

根据向量内积的几何表示定义

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \tag{5}

其中， $\theta$ 为两向量的夹角，将(5)式两边平方可得

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^{2} = |\mathbf{a}|^{2} |\mathbf{b}|^{2} \cos^{2}(\theta) \tag{6}

又由 $|\cos(\theta)| \leq 1$ ，所以

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^{2} = |\mathbf{a}|^{2} |\mathbf{b}|^{2} \cos^{2}(\theta) \leq |\mathbf{a}|^{2} |\mathbf{b}|^{2} \tag{7}

到此，柯西--施瓦茨不等式的向量表示得证。

接下来，我们把向量的代数表示代入(4)式，看看能得到什么结果：

根据向量内积的代数表示，

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \sum\limits_{i=1}^{3}a_{i}b_{i} \tag{8}

以及，向量的长度公式：

|\mathbf{a}|^{2} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_1 a_1 + a_2 a_2 + a_3 a_3 = \sum\limits_{i=1}^{3}a_{i}^{2} \tag{9}

|\mathbf{b}|^{2} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = b_1 b_1 + b_2 b_2 + b_3 b_3 = \sum\limits_{i=1}^{3}b_{i}^{2} \tag{10}

将(8)、(9)、(10)式代入(4)式，可得到

(\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i}b_{i})^{2} \leq (\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i}^2) (\sum\limits_{i=1}^{3}b_{i}^2) \tag{11}

这就是(1)式中 $n=3$ 的情况。