72. 编辑距离 (edit distance)

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72. 编辑距离 题目描述：给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

中规中矩的动态规划

这一道是完全意义上的编辑距离问题。之前已经更新过三篇入门级别的有关编辑距离问题的题解，

• # 115. 不同的子序列
• # 392. 判断子序列
• # 583. 两个字符串的删除操作。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 是以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，其中 $i \in [1, len_1], j \in [1, len_2]$，$len_1=word1.length,len_2 = word2.length$。

2、确定 dp 状态方程

判断 $word1[i - 1]$ 和 $word2[j - 1]$ 的关系：

当 $word1[i - 1] == word2[j - 1]$ 时，以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j]$，应等于以 $i - 2$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 2$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i - 1][j - 1]$

当 $word1[i - 1] != word2[j - 1]$ 时，此时可以选择执行插入、删除、替换三种操作之一：

1. 如果删除一个元素（从 word1 的子序删除），以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j]$，应比 $i - 2$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i - 1][j]$，多 $1$，此时 $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1$；

2. 同理，如果删除一个元素（从 word2 的子序删除），以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j]$，应比 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 2$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j - 1]$，多 $1$，此时 $dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1$；

3. 如果增加一个元素（从 word1 的子序增加），以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j]$，应比 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 2$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j - 1]$，多 $1$，此时 $dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1$；（从 word1 增加元素就如同从 word2 删除元素）

4. 同理，如果增加一个元素（从 word2 的子序增加），以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j]$，应比 $i - 2$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i - 1][j]$，多 $1$，此时 $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1$；（从 word2 增加元素就如同从 word1 删除元素）

5. 替换元素，此时不需要增加/删除元素，以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i][j]$，应比 $i - 2$ 结尾的 word1 子序列和以 $j - 2$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $dp[i - 1][j]$，多 $1$，此时 $dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1$；

综上所述，$word1[i - 1] != word2[j - 1]$ 时，

3、确定 dp 初始状态

1. 声明规模为 $(len_1 + 1) \times (len_2 + 1)$，且元素均为 $0$ 的数组；

2. $dp[i][0]$ 为以 $i - 1$ 结尾的 word1 子序列和空字符串的最小编辑距离，即 $d[i][0] = i$；

3. $dp[0][j]$ 为空字符串和以 $j - 1$ 结尾的 word2 子序列的最小编辑距离，即 $d[0][j] = j$；

4、确定遍历顺序

• 外层循环遍历 word1，从 $i = 1$ 到 $i = len_1$；

• 内层循环遍历 word2，从 $j = 1$ 到 $j = len_2$。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中，即 $dp[len_1][len_2]$。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(word1.length * word2.length)
 * 时间复杂度 O(word1.length * word2.length)
 */
 function minDistance(word1: string, word2: string): number {
    const len1 = word1.length;
    const len2 = word2.length;
    const dp = Array.from({ length: len1 + 1 }, () => new Array(len2 + 1).fill(0));

    for (let i = 0; i <= len1; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }

    for (let j = 0; j <= len2; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }

    for (let i = 1; i <= len1; i++) {
        for (let j = 1; j <= len2; j++) {
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1;
            }
        }
    }

    return dp[len1][len2];
};

参考

# 重识动态规划