"子序列，那种不连续但相对顺序一致的序列"

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392. 判断子序列 题目描述：给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

中规中矩的动态规划

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 是字符串 s 在 $[0, i)$ 区间与字符串 t 在 $[0, j)$ 区间具有的相同子序长度，其中，$i \in [0, len_s),j \in [0, len_t)$，$len_s=s.length,len_t=t.length$。

🎡 NOTE: 这里在 $dp$ 数组中预留出来一行一列作为哨兵节点。

2、确定 dp 状态方程

如果 $s[i - 1] == t[j - 1]$，说明字符串 s 在 $[0, i)$ 区间与字符串 t 在 $[0, j)$ 区间具体的相同子序长度，即 $dp[i][j]$，比字符串 s 在 $[0, i-1)$ 区间与字符串 t 在 $[0, j-1)$ 区间具体的相同子序长度，即 $dp[i - 1][j - 1]$ 多 $1$，即，

如果 $s[i - 1] != t[j - 1]$，说明 $t[j - 1]$ 这个元素没有任何作用，所以字符串 s 在 $[0, i)$ 区间与字符串 t 在 $[0, j)$ 区间具体的相同子序长度，即 $dp[i][j]$，与字符串 s 在 $[0, i)$ 区间与字符串 t 在 $[0, j-1)$ 区间具体的相同子序长度，即 $dp[i][j-1]$，是完全一样的，即，

3、确定 dp 初始状态

初始化整个 $dp$ 数组，规模 $(len_s+1) \times (len_t+1)$，每个元素值为 $0$。

4、确定遍历顺序

从 $dp$ 状态方程上来看，$dp[i][j]$ 仅依赖 $dp[i-1][j-1]$ 与 $dp[i][j-1]$ ，所以遍历顺序可以是，

• 外层循环遍历字符串 s，从 $i = 1$ 到 $i = len_s$；

• 内层循环遍历字符串 t，从 $j = 1$ 到 $j = len_t$。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中，$dp[i][j]$ 是字符串 s 在 $[0, i)$ 区间与字符串 t 在 $[0, j)$ 区间具有的相同子序长度，如果 $dp[i][j] == len_s$，那就说明 s 是 t 的子序，返回 true，否则 false。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(s.length * t.length)
 * 时间复杂度 O(s.length * t.length)
 */
function isSubsequence(s: string, t: string): boolean {
    const lenS = s.length;
    const lenT = t.length;
    const dp = Array.from({ length: lenS + 1 }, () => new Array(lenT + 1).fill(0));
    
    for (let i = 1; i <= lenS; i++) {
        for (let j = 1; j <= lenT; j++) {
            if (s[i - 1] === t[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    
    return dp[lenS][lenT] === lenS;
};

参考

# 重识动态规划