583. 两个字符串的删除操作 (delete operation for two strings)

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583. 两个字符串的删除操作 题目描述：给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和  word2 相同所需的最小步数。每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。提示 1 <= word1.length, word2.length <= 500、word1 和 word2 只包含小写英文字母。

中规中矩的动态规划

关于编辑距离问题，之前已经介绍过 # 115. 不同的子序列、# 392. 判断子序列 两篇，这一题又是一个典型的编辑距离问题，只是两个字符串上的字符都可以进行删除操作。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 是以 $i - 1$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 1$ 字符结尾的 word2，使其相等时，需要删除元素的最小次数，其中 $i \in [1, len_1], j \in [1, len_2]$，$len_1 = word1.length,len_2 = word2.length$。

2、确定 dp 状态方程

依然要讨论 $word1[i - 1]$ 与 $word2[j - 1]$ 是否相等：

当 $word1[i - 1] == word2[j - 1]$ 时，两字符相同说明不需要删除，以 $i - 1$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 1$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i][j]$ 应该与以 $i - 2$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 2$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i - 1][j - 1]$ 相等，即，

当 $word1[i - 1] != word2[j - 1]$ 时，

• 如果仅删除 $word1[i - 1]$，以 $i - 1$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 1$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i][j]$，应该比以 $i - 2$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 1$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i - 1][j]$ 多 $1$，即 $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1$；

• 如果仅删除 $word2[j - 1]$，以 $i - 1$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 1$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i][j]$，应该比以 $i - 1$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 2$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i][j - 1]$ 多 $1$，即 $dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1$；

• 如果 $word1[i - 1]$、$word2[j - 1]$ 都删除，以 $i - 1$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 1$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i][j]$，应该比以 $i - 2$ 字符结尾的 word1 和 以 $j - 2$ 字符结尾的 word2 相等时需要删除元素的最小次数 $dp[i][j - 1]$ 多 $2$（要删除两次嘛），即 $dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 2$；

综上所述，当 $word1[i - 1] != word2[j - 1]$ 时，

3、确定 dp 初始状态

1. $dp$ 初始化规模为 $(len_1 + 1) \times (len_2 + 1)$，且各个元素为 $0$；

2. $dp[i][0]$ 为第 $0$ 列哨兵节点，代表 word2 是空字符串时，以 $i - 1$ 结尾的 word1 要与 word2 相等，删除元素的最小次数，即 $dp[i][0] = i$；

3. $dp[0][j]$ 为第 $0$ 行哨兵节点，代表 word1 是空字符串时，以 $j - 1$ 结尾的 word2 要与 word1 相等，删除元素的最小次数，即 $dp[0][j] = i$;

4、确定遍历顺序

• 外层循环遍历 word1，从 $i=1$ 到 $i=len_1$；

• 内层循环遍历 word2，从 $j=1$ 到 $j=len_2$。

5、确定最终返回值

返回值即为，$dp[len_1][len_2]$

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(word1.length * word2.length)
 * 时间复杂度 O(word1.length * word2.length)
 */
function minDistance(word1: string, word2: string): number {
    const len1 = word1.length;
    const len2 = word2.length;
    const dp = Array.from({ length: len1 + 1 }, () => new Array(len2 + 1).fill(0));

    for (let i = 0; i <= len1; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }

    for (let j = 0; j <= len2; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }

    for (let i = 1; i <= len1; i++) {
        for (let j = 1; j <= len2; j++) {
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 2);
            }
        }
    }

    return dp[len1][len2];
};

参考

# 重识动态规划