115. 不同的子序列 (distinct subsequences)

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115. 不同的子序列 题目描述：给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

中规中矩的动态规划

昨天更新过一篇关于编辑距离入门的题解 # 392. 判断子序列，本题目同样仅涉及删除操作，不涉及替换、增加等操作。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 是字符串 s 以 $i-1$ 结尾子序中出现字符串 t 以 $j-1$ 结尾子序的个数，其中，$i \in [0, len_s),j \in [0, len_t)$，$len_s=s.length,len_t=t.length$。

2、确定 dp 状态方程

当 $s[i-1]!=t[j-1]$ 时，此时 $dp[i][j]$ 只有一种情况：

• 放弃 $s[i -1]$，$dp[i][j] = dp[i - 1][j]$；

当 $s[i-1]==t[j-1]$ 时，此时 $dp[i][j]$ 有两种情况需要考虑：

• 放弃 $s[i - 1]$，$dp[i][j] = dp[i - 1][j]$；

• 使用 $s[i - 1]$，$dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]$；

此时 $dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]$

3、确定 dp 初始状态

为方便计算，我们在 $dp$ 数组多申请了一行一列的元素作为哨兵节点，即 $dp[i][0]$ 与 $dp[0][j]$。

• $dp[i][0]$ 代表了以 $i - 1$ 结尾的 s 子序出现的 空字符串 的个数，即 $dp[i][0] = 1$；(其中，$i$ 从 $0$ 到 $len_s$)

• $dp[0][j]$ 代表了空字符串中出现的以 $j-1$ 结尾的 t子序的个数，即 $dp[0][j] = 0$。（其中，$j$ 从 $1$ 到 $len_t$）

4、确定遍历顺序

• 外层循环遍历字符串 s，从 $i = 1$ 到 $i= len_s$；

• 内层循环遍历字符串 t，从 $j = 1$ 到 $j=len_t$。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中，即 $dp[len_s][len_t]$

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(s.length * t.length)
 * 时间复杂度 O(s.length * t.length)
 */
function numDistinct(s: string, t: string): number {
    const lenS = s.length;
    const lenT = t.length;
    const dp = Array.from({ length: lenS + 1 }, () => new Array(lenT + 1).fill(0));

    for (let i = 0; i <= lenS; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    // 其实这里无须初始化，但是为了结构完整...
    for (let j = 1; j <= lenT; j++) {
        dp[0][j] = 0;
    }

    for (let i = 1; i <= lenS; i++) {
        for (let j = 1; j <= lenT; j++) {
            if (s[i - 1] === t[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }

    return dp[lenS][lenT];
};

参考

# 重识动态规划