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红黑树删除的讨论分析

写在前面

文章摘要

1. 红黑树删除的简单分析
2. 分类讨论
   • 删除节点的颜色是红色
   • 删除节点的颜色是黑色
     • 删除的是BST中度为2的节点
     • 删除的是BST中度为1的节点
     • 删除的是BST中度为0的节点
       • 兄弟节点是黑色且有红色的子节点
       • 兄弟节点是黑色且没有红色的子节点
       • 兄弟节点是红色

阅读准备

• 建议阅读时间：10 ~ 15 分钟
• 阅读前提：
  • 红黑树的性质与B树的等价转换 ->《初识红黑树》♨️♨️♨️
• 红黑树的提前量是：二叉搜索树、树的旋转、B树的性质【文末有推荐的阅读文章】
• 本篇文章没有代码实现，仅从用图文分析了红黑树删除的几种情况~

一、如何分析讨论红黑树的删除

（1）分析

• 分析红黑树时，一定要想象出它等价的4阶B树
• 这是一棵红黑树，将它的等价B树给画出来

• 看右边的B树，在如果要在上面删除元素，我们知道：真正被删除的元素都是在叶子节点中的
• 也就是从图中的这些节点：（4、8、10）、（16、18）、（22、25）、（36）中去删除元素
• 加上左边红黑树节点的颜色，对应B树的叶子节点同添加一样，也只有这四种情况：红黑红、黑红、红黑、黑

• 之前在《红黑树添加的分析与实现》中，我们想要尽快的满足红黑树的五条性质，来使其自平衡
• 我们做了一个操作：使新添加的节点默认为红色，经过这个操作后，会发现有几种情况就不需要额外的处理了。
• 在删除节点的时候，有没有不用处理的情况呢？跟着我的思路，我们来分类讨论一下吧~

（2）分类讨论1

• 在上面的图片中，可以发现，真正会被删除的节点，有黑有红。
• 那下面我们先按删除节点的颜色分类，可以分为两类：

① 删除的节点是红色

• 如图上箭头所指：删除的全部都是红色节点
• 我先不解释，我直接将其删掉，你看看图，你就明白了，不信你看看：

• 看完上图可以发现：如果删除的节点是红色的，并不会对红黑树的5条性质产生任何影响
• 回想之前在添加时，我们也将节点调成了红色再添加，红色真的很令人泪目啊！
• 这就是不需要做处理的情况吗？还挺舒服的，还有没有不需要处理的情况呢？
• 别着急，我们慢慢讨论

② 删除的节点是黑色

• 看完了上面的第一种讨论，再来看看这些情况：删除的节点是黑色的
• 看起来好像就没刚刚那么舒服了，而且感觉也很笼统
• 那咱们再来细化讨论一下：按删除节点的（红色子节点）的数目

（3） 分类讨论2

① 有两个红色的子节点

• 在说这种情况之前，我们来简单复习一下二叉搜索树中，删除度为2的节点时的思路：
  • 找到前驱或后继节点、转换成度为 0 或 1的节点进行删除
    • 看上图，我们想要删除节点8
    • 在二叉搜索树的眼中，也就是删除度为2的节点
    • 需要找到它的前驱或者后继节点4或10。先赋值，再删除前驱或后继节点
• 这样一看，发现真正被删除的节点，是4 或者 10。看看它们的颜色，这不就是上面讨论的，不需要处理的情况了吗（真正被删除的是红色节点）
• 比如我拿前驱节点为例，画一幅图给你看看：

• 可以发现，删除后并没有影响到红黑树的性质，它还是一棵红黑树
• 因为真正被删除的节点是红色，这就等价于上面讨论的第一种情况了~

② 只有一个红色的子节点

• 如图箭头所指：想要删除的节点只有一个红色的子节点
• 如果站在B树的角度：
  • 待删除的元素在节点：（16、18）和 （22、25）中
  • 在删除后，变成了（18）和（22），还是满足4阶B树的性质，不会产生副作用
• 但是如果站在等价转换的角度来看：
  • 删除后的节点是：（18）和（22），都是红色，不能作为一个B树的节点。
  • 那么需要将它们染成黑色，才能独立作为一个B树节点，也就是：

• 如果站在二叉搜索树的角度：
  • 这是删除度为1的节点
  • 需要找到一个替代它的子节点，让它的父节点指向替代它的子节点
  • 再维护好红黑树的性质，所以最终思路是：

③ 没有红色的子节点

• 看到这里，先恭喜你，删除的情况已经讨论了一半。什么？才一半......
• 没关系，耐心一点，毕竟红黑树对大多数人来说，可不简单呢，我们来看看这种情况

• 图中想要删除的元素是36，可以发现，它没有红色的子节点

• 探讨这种情况前，我们也来简单复习一下B树是如何删除元素的：

  • 首先明确：真正删除的元素必然在叶子节点中
  • 在叶子节点中的元素，直接删除即可
  • 但是在删除完成后，需要检验是否满足m阶B树的性质：┍ m/2 ┑ - 1 ≤ 非根节点元素个数 ≤ m - 1（m为阶数）
  • 若满足该性质，则删除成功，不需要做额外的处理
  • 若不满足，则会产生下溢现象，需要处理下溢节点
  • 处理完成后可能还会继续下溢，重复解决下溢，直至完全平衡。删除才完成

• 既然提到了下溢，那顺便谈谈如何解决下溢：

  • 先看看，可否与临近的兄弟节点借一个元素
  • 若可以借，则通过旋转的方式，借用元素、下溢解决
  • 若没得借，则需要从父节点中取出一个元素，与兄弟节点（如果有）中的元素合并成一个节点
  • 从父节点中取出一个元素，可能会导致父节点也下溢。那么需要重复上面的过程解决下溢。直至下溢完全解决

• 相信到现在，不用我再解释一遍，我们学红黑树，为什么要来看B树的删除吧！

• 我们想要删除节点：（36）节点中的元素 36

• 因为其等价的是4阶B树，有这样的1 ≤ 节点元素数量 ≤ 3关系。
• 从图中可以发现，节点的元素数量为0了，已经超出了这个范围，也就是出现了下溢现象，所以我们下面要解决下溢
• 并且由于这是一棵红黑树，解决下溢时，需要满足红黑树的5条性质，也需要满足它们间等价转换的关系
• 既然要解决下溢，是不是又可以分类讨论了：按解决下溢的办法分类

1、临近兄弟节点有得借 —— 兄弟节点是黑色

• 我们来看图中的这几种情况:
  • 在B树的眼中：待删除元素所在节点的兄弟节点是：红黑、红黑红、黑红，它们至少可以向借一个元素（它们借出去了，也不会产生影响）
  • 在红黑树的眼中：待删除节点的兄弟节点是黑色的，并且至少有一个红色的子节点
• 如果是上面的这些情况，那么向兄弟节点借一个元素过来即可。怎么借呢？
• 刚复习的，直接旋转过来即可，我们先看兄弟节点是红黑、黑红、这两种情况：

• 如图所示，当删除元素后，在B树的角度来看，得先通过旋转来解决下溢：

  • 具体如何旋转，主要是看删除节点的父节点是：LL、LR、RR、RL中的哪一种情况，决定如何使用左旋和右旋，这里就不多赘述了

• 然后在红黑树与其等价转换的角度来看，需要维护红黑树的性质，也就是给节点的染色：

  • 将旋转到上方新的父节点颜色继承原先父节点的颜色（要满足等价转换的条件：红色节点向上合并）
  • 将新父节点的左右子节点变成黑色（要满足等价转换的条件：黑色节点才能独立作为一个B树节点）

• 说完了刚刚：红黑、黑红的两种情况，我们再来看看剩下一种可以借元素给兄弟的情况：红黑红

• 为什么要把这种情况单独拿出来说呢？从图中可以看出，不论是在B树还是红黑树的角度。两棵一样的红黑树删除同样的节点，最终结果却不同，为什么呢？
  • 可以发现，在选择旋转策略的时候，用了两种方式：单旋和双旋
  • 而这两种策略，最终的结果虽然不一样，可是都满足了B树的性质
  • 再通过染色。来维护节点的颜色后，结果肯定也不一样，可是也都满足了红黑树的性质
• 所以，得出的结论是：导致结果不同的是旋转的策略不同。
• 而结果都皆大欢喜，也就是说，两种其实都没错。选择任意一种都可以
• 看完了上面的三种情况，是不是只有会出现：LL、LR的情况啊？RR、RL去哪里了啊？

• 如上图所示，其实也会出现：RR、RL，只不过待删除的节点在父节点的左边来了而已，【下面的讨论情况也是一样的】
• 那这些情况该怎么分析呢？咱们也就不必duck担心，其实不用分析了，只需要掌握好待删除节点在右边的情况即可
• 因为待删除节点在左边的情况，与在右边的情况，操作是对称的，染色的逻辑是一致的。
• 这种可以跟兄弟节点借元素的情况，关于染色，我再补充一点，小伙伴可能会有的疑惑：
  • 为什么我要说：旋转后新的父节点（中心节点）必须要继承旧父节点的颜色呢？
  • 看上面画的图，染色操作不都是将旋转后新父节点，染成红色吗？
  • 别着急，咱们来看看下面这幅图：

• 看到上图所示的情形，如果只是简单的将新父节点染成红色的话，就不满足性质了。（将红黑树的5条性质罚抄一百遍，相信你不敢乱染色了吧！！！)
• 正确的操作是继承旧父节点的颜色

2、临近的兄弟节点没得借 —— 兄弟节点是黑色

• 说完了别人家的兄弟（可以借），来看看自己家的兄弟（没得借）的情况，比如说下面的两种情况：

• 不是兄弟节点不想借给你，而是人家里面都只有一个元素了，根本借不出来啊
• 根据B树的性质：我们知道在兄弟没得借的时候，要在父节点中取出一个元素，与兄弟节点合并
• 说到合并，之前添加后若出现上溢现象，也要通过合并来解决，我们来看看，它们有什么相似的地方吗？

• 上图中上部是方便我们理解，等价转换出来的B树，下部分是这棵红黑树，这种情况下真正执行的操作

• 与添加一样：真正的操作其实是去染色，并没有真的去合并

  • 父节点染成【黑色】兄弟节点染成【红色】

• 染完色，我们按照红黑树等价转换成B树的性质，再次转换成帮助我们理解的B树时

• 会发现，B树的性质也得到了满足

• 之前分析添加时解决上溢，向上合并后，可能会导致上面的父节点也上溢

• 解决下溢也是同理，向下合并后，可能会导致父节点也下溢

• 的确如此，向下合并后，可能导致父节点也下溢。而且最坏的情况，会一直下溢到根节点（如上图）
• 回想之前添加时，放上去与父节点合并的元素，我们会把它当做一个新添加的元素，重复进行行添加时的分析逻辑，也就是会去递归调用添加后的处理函数
• 这里我们也利用同样的思想，从父节点中取出来的与兄弟节点合并的元素，我们可以将它当做一个被删除的节点，重复进行删除时的分析逻辑，也就是会去递归调用删除后的处理函数

3、关系很模糊的临近兄弟节点 —— 兄弟节点是红色

• 再坚持一下，我们来看看删除的最后一种情况。马上就分析完了

• 我们站在B树的角度来看：

  • 第一棵红黑树：（21）节点临近的兄弟节点是（19），可是它在红黑树中却是兄弟节点的子节点
  • 第二棵也是一样的道理：（21）节点临近的兄弟节点是（18、19），可是在红黑树中却是兄弟节点的子节点，甚至是孙子节点

• 你回看前两种讨论的情况：

  • 在红黑树中，待删除节点的兄弟节点都是黑色的
  • 那在B树中，与待删除的节点肯定生活在同一层级，关系很单纯
  • 如果它邻近兄弟的有多的元素，向它借一个，没有就请求它们的父节点帮助

• 可是现在的这种情况：

  • 在红黑树中，待删除节点的兄弟节点是红色的
  • 那在B树中，与待删除的节点肯定不在同一层级，关系较为复杂
  • 就算B树的临近兄弟有多的元素，也不方便直接借用。没有的话也找不到它们共同的父节点

• 好了，说了老半天，这一段没看懂没关系。你知道一个点就行了：它们的关系很复杂

• 既然它们的关系很复杂，能否转换一下，变成我们熟悉的关系呢？

• 先看最终的结果，是不是感觉很熟悉，不熟悉的话，往上翻一下，看看是不是前面兄弟节点是黑色的两种情况~~~
• 看完了结果，我来说说其中的思路：
  • 1、将兄弟节点染成黑色、父节点染成红色【保证旋转后红黑树的性质不变】
  • 2、将父节点左旋或右旋，将兄弟节点的子节点变自己的子节点【将侄子变成兄弟。转换成熟悉的关系】
• 这种情况矛盾的地方，其实是：在B树的临近兄弟节点中，没有红黑树的兄弟，导致了较复杂的关系
• 这句话有些绕，用上面的例子来看看：

• 再给你看看转换后：

• 这下你算是知道，为什么会矛盾了吧！！！

（4）删除的总结

• 再次强调：一定要想象出一棵红黑树，它等价的B树
• 因为删除的很多操作都具有对称性，（如：删除二叉搜索树中度为0的节点，它位于左边和右边是完全对称的操作）
• 那么，下面的总结以上面的例子为例：（删除的节点都在右边为例）

① 删除红色节点

• 删除红色节点，并不会对红黑树的性质产生影响，也不会对其等价B树产生影响，所以直接返回即可

② 删除黑色节点

• 下面提到的BST是二叉搜索树
• ❗❗❗一定要想象等价的B树。并且要知道，在B树中，真正被删除的节点，一定位于最后一层

1、删除的是BST中“度为2”的节点

• 这种情况比较特殊。在B树中看起来是删除黑色的节点，但是在红黑树中，真正被删除的是红色节点
• 其实就是上面删除红色节点的情况，那么这一种也不需要特殊处理

2、删除的是BST中度为1的节点

• 这种情况，该黑色节点有且仅有一个红色子节点
• 我们需要找到取代它的子节点，将它的子节点染成黑色即可

3、删除的是BST中度为0的节点

• 若BST中度为0，删除之后。在等价B树中会产生下溢现象

• 这里又可以分成三种情况：

ⅰ、兄弟是黑色且至少有一个红色的节点

• 如图所示：直接向兄弟借一个节点就行了。不用还的那种哟~
• 最终解决方案：旋转 + 染色

ⅱ、兄弟节点是黑色且没有一个红色的节点

• 如图所示：兄弟只有一个黑色的节点，想帮兄弟也借不了啊

• 最终解决方案：染色（合并）

• 但是有一种特殊情况，如上图右边所示：

  • 父节点也是黑色的时候。将父节点向下合并时，父节点也会下溢

  • 那么需要将向下合并的父节点，当做是被删除的节点，递归使其恢复性质

ⅲ、兄弟节点是红色

• 如图所示：就是我们当时描述的，它们的关系很复杂，我们不熟悉
• 最终解决方案：将其转换成上面的两种情况：兄弟节点是黑色且....
• 经过这样的转换，我们就能够统一使用上面的逻辑了

写在后面

• 完整代码在下一篇《红黑树删除的实现》后会一起给出，可根据文章分析尝试实现~
• 推荐阅读：
  • 了解二叉搜索树 ->《二叉搜索树的实现与分析》
  • 了解树的旋转 ->《透过AVL树的实现，学习树的旋转》
  • 了解上溢现象 ->《你心里有B树吗？》
  • 红黑树的添加 ->《红黑树添加的分析与实现》

本篇收获

• 红黑树删除的分析
• 该如何分类讨论红黑树的删除
• 复习树的旋转、B树的性质

读后思考

• 能否根据本文分析红黑树删除操作的方法，尝试用代码实现红黑树的删除呢？
• 下一篇文章，我们将一起用代码来实现红黑树的删除~