初识红黑树

Ciusyan
1,510 阅读8分钟

开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 12 月更文挑战」的第6天，点击查看活动详情

红黑树前言

写在前面

文章摘要

  1. 初识红黑树
  2. 红黑树的五条性质
  3. 红黑树的平衡
  4. 红黑树 vs B树
  5. 红黑树 vs AVL树

阅读准备

一、初识

  • 在了解红黑树之前，先来看一棵红黑树大概长什么样子

image-20221108213645970

  • 有没有感觉很好看、很工整、很平衡、很有规律、很疑惑、很.... ？
  • 没关系，不妨听我细细说来，咱们都能学会~
  • 同AVL树一样，红黑树也是一种自平衡的二叉搜索树。一开始被称为：对称二叉B树
  • 我们在AVL树中，通过树的旋转，维护了AVL树中特有的平衡因子，使其平衡。
  • 里面旋转的思想，在红黑树里也是需要使用的。这一点应该能想到。
  • 可为什么和B树也有关呢？难道红黑树它心里也有B树？

image-20221110101019826

  • 乍眼一看，红黑树好像确实很有4阶B树的样子哎
  • 那我们下面将一起来看看，我们之前学习的 AVL树、B树，会与红黑树擦出什么样的火花
  • 但是在了解红黑树前，我们先来背背八股文

二、红黑树的性质

① 节点是红色或黑色

  • 红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉搜索树，颜色为红色或黑色
  • 红色和黑色代表什么呢？来看看维基百科的解释：

之所以选择“红色”是因为这是作者在帕罗奥多研究中心公司（Xerox PARC）工作时用彩色激光打印机可以产生的最好看的颜色。另一种说法来自Guibas，是因为红色和黑色的笔是他们当时可用来绘制树的颜色。

  • 其实没有特殊含义，可能是因为时代的原因吧。也可能为了方便描述以下性质吧~

② 根节点是黑色

  • 根节点必须是黑色，这一点很好理解

③ 叶子节点都是黑色

  • 这里所说的叶子节点，和我们之前所说的叶子节点不太一样。红黑树中的叶子节点是：是外部的节点、是空的节点、是假想出来的节点

image-20221108220650745

④ 红色节点的子节点都是黑色

  • 换好几句话说就是：
    • 每个红色节点必须有两个黑色的子节点（叶子节点也算入其中）
    • 或者说从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点
    • 或者说不存在两个相邻的红色节点，相邻指两个节点是父子关系
    • 或者说红色节点的父节点和子节点均是黑色的

⑤ 从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点

image-20221108221527557

  • 如图中所示，有三条颜色的路线，都是从同一个节点出发（这里是根节点）
  • 它们从不同路线，走到了不同的叶子节点
  • 但是它们所经历的黑色节点都是一样的：3个
  • 其它路线也是同理，不信你可以自己数一数~

总结

  • 要是一棵二叉搜索树拥有这五条性质，那么它就是一棵红黑树，也就拥有了自平衡的功能
  • 而且这五条性质是缺一不可的，要想是红黑树，就必须满足上述性质
  • ❓可是拥有了这五条性质，真的能够使二叉搜索树自平衡吗？别着急，听我细细道来~

三、红黑树与B树

  • 说完了红黑树的 5 条性质。为了能够更好的学习红黑树，我们先来看看它与B树之间的关系

image-20221109144719638

  • 从图中可以看出，我们将红色节点向上与黑色父节点合并后
  • 红黑树与四阶B树。也叫做（2，4）树、2-3-4树具有等价性
  • 将黑色节点与它的红色子节点融合在一起，会形成1个B树节点
  • 并且红黑树的黑色节点个数等于4阶B树的节点总数（黑节点数量 = 4阶B树节点数量）
  • 既然要用红色节点与黑色节点合并，那么合并后，就只有这四种情况：
    • 红黑红、黑红、红黑、黑
    • 建议可以眼熟一下，因为这里对后面红黑树添加、删除分析的理解尤为重要

image-20221109150438138

  • 既然等价于四阶B树，那我们一起来回想一下4阶B树的两个性质：
    • 根节点：(2 ≤ 子节点个数 ≤ 4)、(1 ≤ 元素个数 ≤ 3)
    • 非根节点：(2 ≤ 子节点个数 ≤ 4)、(1 ≤ 元素个数 ≤ 3)

四、红黑树的平衡

  • 看到这里，你可能还是会有这个疑惑：❓拥有这五条性质的二叉搜索树，就能保证它是平衡的吗？
  • 看完了红黑树与B树的等价变换，我们至少能保证：红黑树等价于4阶B树
  • 再来看看这一棵红黑树的等价变换：

image-20221119095219840

  • 红黑树的高度为4，和它等价的B树高度为2，将眼光放在这棵4阶B树上，肉眼可见它的平衡
  • 其实红黑树的平衡，在某种意义上来说，就是4阶B树的平衡。4阶B树有多么平衡，红黑树就有多么平衡。
  • 我们刚才所说，红黑树的黑色节点数量等于B树的节点数量，也就说明红黑树的平衡是一种黑高度平衡
  • 根据性质，也就可以知道，红黑树的平衡比较宽松：没有一条路径高度会大于其他路径高度的2倍

image-20221119100034477

  • 也就说明红黑树的平衡是一种弱平衡

红黑树的最大高度是 2log2(n + 1)，因此根的高度也是O(logn)

  • 根据高度，也就可以得出红黑树的平均时间复杂度：
    • 搜索、添加、删除：O(logn)

五、红黑树与AVL树

  • 有了二叉搜索树，防止它退化成链表，出现了自平衡的二叉搜索树：AVL树
  • 而我们都知道，AVL树的平衡标准比较严格：每个左右子树的高度差不超过1。据统计：
    • 同样100w个节点，AVL树最大高度为28，而红黑树最大高度为40
  • 刚刚分析红黑树的时间复杂度，我们发现，其实和AVL树的是一样的，查询、添加、删除都是O(logn)级别
  • 那科学家之后为什么又发明了红黑树？并且实际应用也更广泛呢？
  • 引用清华邓俊辉老师的话：

每次插入、删除操作，虽然最坏时间复杂度是O(logn) 但是，旋转操作只会进行常数次。也就是说只有常数个节点的拓扑结构发生改变，这个特性对持久性数据结构是至关重要的。

  • 回顾一下AVL树的实现中：

    • 添加后可能会导致一个或多个节点失衡，在解决最小的失衡节点后，就平衡了。最多需要2次旋转即可解决失衡，只需要O(1)级别的旋转操作
    • 删除后可能只会有一个节点失衡，但是在解决失衡后，还可能会出现失衡节点。也就是可能需要多次调用旋转逻辑，最多需要O(logn)级别的旋转操作

  • 而在红黑树中，先说结论，之后的实现中再说明：

    • 添加和删除后，都仅需要O(1)级别的旋转操作即可维护红黑树的性质

  • 对于查询操作来说，因为红黑树的平衡不是很严格，相同数量的节点，大部分情况下，树的高度都比AVL树要高，所以，查询的速度AVL树会快一些。

  • “一图胜千言”（来自网络）

img

  • 其实综合看下来：
    • 查询的次数远远大于插入和删除的次数时，选用AVL树
    • 查询、添加、删除次数几乎差不多，选择红黑树
    • 相对于AVL树来说，红黑树牺牲了部分平衡，减少了插入、删除操作中旋转的次数

写在后面

本篇收获

  • 了解了红黑树以及它的五条性质
  • 红黑树与4阶B树的关系以及它们的等价转换
  • 红黑树与AVL树不一样的平衡

读后思考

  • 根据红黑树与4阶B树的关系，该用何总思路分析红黑树的添加、删除？
avatar
文章
阅读
粉丝