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回望B树，展望红黑树

写在前面

文章摘要

1. B-Tree的概念和性质
2. B-Tree的查询
3. B-Tree的添加
4. B-Tree的删除

阅读准备

• 建议花10 ~ 15分钟阅读
• 本文提到的二叉搜索树，推荐阅读：《二叉搜索树的实现与分析》
• 本文对B树的分析，是为了后面的红黑树做准备的。相对来说较为轻松😲😲
• 剧透：既然要展望红黑树，那么重点了解 4阶B树

一、B-Tree的概念&性质

（1）概念

B树（英语：B-tree），是一种在计算机科学自平衡的树，能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作，都在O(logn)内完成。B树，概括来说是一个一般化的二叉查找树（binary search tree）一个节点可以拥有2个以上的子节点。与自平衡二叉查找树不同，B树适用于读写相对大的数据块的存储系统，例如磁盘。B树减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。B树这种数据结构可以用来描述外部存储。这种数据结构常被应用在数据库和文件系统的实现上。

• B树是一种平衡的多路搜索树
• 多用于文件系统、数据库的实现

• 如上有一颗B-Tree
• 其中 1 个节点可以存储超过 2 个元素、并且可以拥有超过2个子节点
• 是一棵一般化的二叉搜索树，拥有二叉搜索树的一些性质
• 非常平衡，每一节点的所有子树高度一致，并且较矮

（2）性质

• 有一棵 m 阶 B树（m ≥ 2），设一个节点存储的元素数量为 x。如果有子节点，设个数为 y 。那么，可以得出以下的结论：
  • 根节点：(1 ≤ x ≤ m - 1)、(2 ≤ y ≤ m)
  • 非根节点：(┍ m/2 ┑ - 1 ≤ x ≤ m - 1)、(┍ m/2 ┑ ≤ y ≤ m)
    • p.s：┍ x ┑表示对 x 向上取整（如：x = 2.1 => ┍ x ┑ = 3）
  • eg：非根节点
    • m = 3，2 ≤ y ≤ 3，1 ≤ x ≤ 2，可称为 (2, 3)树、2-3树
    • m = 4，2 ≤ y ≤ 4，1 ≤ x ≤ 3，可称为 (2, 4)树、2-3-4树
    • m = 5，3 ≤ y ≤ 5，2 ≤ x ≤ 4，可称为(3, 5)树、2-3-4-5树
    • .....

• 如果m = 2 呢？
• 如下图，二阶B树，其实就是一棵二叉搜索树

• 定义中说：B树在逻辑上也是一棵二叉搜索树
• 如果是阶数为二阶的B树，会退化，完全等同于为一棵二叉搜索树
• 那我们能否将一棵二叉搜索树，变成一棵 B树呢？
• 其实是可以的，先来看一个概念：
  • 某节点含有多个元素，并且可以有大于两个的子节点。我们称这样的节点为超级节点
• 将二叉搜索树的多代合并，可获得一个超级节点
  • 2代合并的超级节点，最多拥有4个子节点，所以至少是4阶B树

• 依此类推
  • 3代合并的超级节点，最多拥有8个子节点，所以至少是8阶B树
  • n代合并的超级节点，最多拥有 2 ^ n个子节点，所以至少是2的n次方阶B树
• 反推取对数可得：m阶B树，最多需要log2 m次合并

二、B-Tree的查找

• 因为B树逻辑上与二叉搜索树等价，在B树中查找元素，也是去比较节点大小。再继续寻找：
  • ①先在节点的内部从小到大开始查找元素
  • 如果找到，查找结束
  • ②如果未找到，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤①

• 如图，我们想要在这一棵4阶B树中，查找元素 15
• 从根节点（5、14、22）开始查找，发现 15 应该介于 14 和 22 之间
• 所以找到子节点（18），发现 15 应该在 18 的左边
• 所以找到子节点（15），返回结果

三、B-Tree的添加

• 新添加的元素必定是添加在叶子节点中
• 如下图，添加了元素：12 和 35

• 直接搜索到应该放置的叶子节点，将其插入即可
• 应该很清晰，如果再添加一个元素31，会发生什么呢？

• 要是不知道B树的性质，是不是感觉也没问题，那要是知道B树的性质呢？
• 我们会发现，添加后，右下角的节点中存在了4个元素，而4阶B树单个节点最多能容纳 3 个元素
• 已经溢出了一个元素，我们得将其修复。而这样的现象被称为：上溢（overflow）

上溢的解决

• 添加完成时，出现了上溢节点，那么该节点的元素个数必然为 m（m为阶数）
• 且假设该节点最中间元素的位置为 k，则解决方案是：
  • 将k位置的元素向上与父节点合并
  • 将[0, k-1] 和 [k+1, m-1]位置的元素分裂成2个子节点
• 如下图所示

• 如果m是偶数，那么上溢节点中的元素个数也是偶数，中间 k 可选的位置也会有2个，如上面就可以选择 32、35
• 我们这里令k = 1，将其位置的元素取出来，将它上移到父节点中，变成：（25、30、32）
• 再将它[0, 0]和 [2, 3]位置的元素分裂为两个子节点（31）和（35、38）
• 经过上面的操作，已经没有上溢节点了
• 那我们再添加 40 和 50 ，看看会有什么问题

• 也出现了上溢节点，但再看到上溢节点，应该不会慌张了吧！那我们再一起来解决上溢~

• 按照刚刚的思路解决完上溢，一开始出现的上溢的节点确实没有问题了
• 可是我们发现，向上合并时，导致父节点也出现了上溢现象
• 怎么办呢？继续解决呗~

• 这一次添加元素时，我们发现一个现象：解决完上溢后，可能会导致父节点也上溢
• 最坏的情况就是像上图所示：一直上溢到了根节点
• 根节点的上溢被解决后，发现树长高了。是的，这是唯一会使 B 树长高的情况
• 但是好在，出现这么多次上溢节点，解决上溢的思路都是一致的~😁😁

四、B-Tree的删除

• 之前二叉搜索树的删除，思路是根据节点的度不同分类讨论其删除的方式
• 那B树呢？其实也差不多，我们先来看看删除的元素在叶子节点中
• 如下图，我们想要删除 50

• 可以看到，50在叶子节点（40、50）中，直接删除即可
• 那我们看看如果删除的是非叶子节点中的元素 14 呢？

• 可以发现，其实和二叉搜索树中，删除度为 2 的节点差不多
• 思路是：
  • 先找到待删除元素所在节点的前驱或后继节点
  • 将其节点中最大或最小的元素赋值给待删除的元素
  • 最后删除前驱或后继中用来赋值的元素即可
• 而B树的前驱或后继节点，必然是叶子节点。 而删除叶子节点中的元素，就可以直接删除了
• 那再来看几种情况。为了方便描述情况，我们假设有一棵5阶B树

• 删除元素30，会发生什么呢？

• 发现30在叶子节点中，按刚刚的逻辑，直接将其元素删除。的确如此，这一步操作没问题
• 可是这是 5 阶 子树哎，必须满足：┍ m/2 ┑ - 1 ≤ 非根节点中元素数量 ≤ m - 1，也就是元素数量必须属于 [2, 4]中
• 而在上图中，我们将节点（30，32）的 30 删除了。此节点变成了（32），元素数量为1，已经 低于最少元素数量的个数了。这种情况被称为：下溢（underflow）
• 那么如何解决下溢呢？

下溢的解决

• 删除完成时，出现了下溢节点，那么它必然满足：元素个数 == ┍ m/2 ┑ - 2（m为阶数）
• 如果当下溢节点的临近兄弟节点中的元素个数，最少为┍ m/2 ┑时，可以向其借一个元素。（也就是兄弟节点给你一个元素，它也不会产生下溢。那么就可以向它借一个元素）
• 如解决上图的下溢情况

• 向兄弟节点借元素时。因为有大小关系，不可以直接拿过来，只能通过巧妙的交换
  • 将父节点中（28，34），元素28移动到下溢节点，使其变成（28，32）
  • 将可以借元素的临近兄弟节点（22，24，27）中的元素27，移动到父节点中，使其变成（27，34）
  • 即可解决下溢。听我这样一描述，是不是发现，其实这就是在旋转啊~
  • 我上面的操作其实就是在右旋，因为临近可借用元素的兄弟节点在左边，如果在右边，那么左旋即可修复下溢节点
• 我们刚刚一直在讨论，出现下溢时，可以向兄弟节点借用一个元素的情况，那如果没得借呢？

• 如上图所示，被删除元素的节点都没有临近的兄弟节点
• 别谈不够借了，是根本借不到，那又该如何解决呢？

• 如图所示，删除节点（1，2）中的元素2，出现了下溢现象，可它根本就没有临近的兄弟节点
• 那么解决的思路是：在父节点中取出一个元素，向下与兄弟节点合并（如果有兄弟节点）
• 在这里，合并完成后确实修复了之前的下溢节点
• 与添加出现上溢相似，又出现了新的下溢节点，最坏的情况如上图所示：会一直下溢到根节点
• 刚刚说如果有兄弟节点，需要与兄弟节点一起合并，也就是下面这种情况

• 如上图所示，有临近的兄弟节点，但是它没有多的元素借给下溢的兄弟节点
• 这时，需要从父节点中取出一个元素，将原先的下溢节点与它临近的兄弟节点合并（如有多个不能外借的临近兄弟节点，只能合并一个）
• 即可解决解决。若这样的操作使父节点也下溢了，重复上面的思路，依次解决即可
• 如果根节点的下一层出现了下溢节点。当下溢节点全部被修复，重新平衡时，该树整体的高度会减1
• 这也是唯一能使B树变矮的操作了

写在后面

本篇收获

1. 初步了解了B树
2. B树添加元素时，出现上溢现象的解决方案
3. B树删除元素时，出现下溢现象的解决方案

读后思考

• 心里有了B树，真的对红黑树有用吗？有什么用呢？又怎么用呢？
• 随机给定一组元素，来构建4阶B树，该如何操作呢？
• 再将他们依次删除呢，又该如何操作呢？