红黑树的添加

Ciusyan
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如何在红黑树上添加节点？

写在前面

文章摘要

  1. 红黑树的基本构造、节点以及辅助函数
  2. 红黑树添加的分析以及分类讨论
  3. 红黑树添加的代码实现

阅读准备

一、红黑树的实现前的铺垫

“工欲善其事，必先利其器”

  • 为了更好的学习红黑树，我们已经学习了：AVL树、B树
  • 下面，再铺垫几个方法，辅助我们学习红黑树

（1）几个名词

  • 父节点：parent（一直所说的父节点）
  • 兄弟节点：sibling（父亲相同的节点）
  • 叔父节点：uncle（父节点的兄弟节点）
  • 祖父节点：grandparent（父节点的父节点）
  • 在二叉搜索树的内部，我们本来就维护了父节点，不用处理，祖父节点也是同理
  • 为了方便起见，我们在二叉搜索树的Node节点中，可以添加获取兄弟节点的方法sibling()。有了此方法，叔父节点也就可以通过parent.sibling()拿到了

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  • 看完了这几个名词，我们来看看红黑树的基本构造

（2）红黑树的基本构造

  • 较为简单，先看代码
public class RBTree<E> extends BSTImpl<E> {

    private static final boolean RED = false; // 红色
    private static final boolean BLACK = true; // 黑色

    public RBTree() { this(null); }

    /**
     * 可以传入一个比较器的构造函数
     * @param comparator：比较器
     */
    public RBTree(Comparator<E> comparator) {
        super(comparator);
    }
    
    @Override
    protected void afterAdd(Node<E> node) {
        // 添加节点后的逻辑
    }

    @Override
    protected void afterRemove(Node<E> node) {
        // 删除节点后的逻辑
    }
    
    @Override
    protected Node<E> createNode(E element, Node<E> parent) {
        return new RBNode<>(element, parent); // 需要使用红黑树的节点
    }
}
  • 红黑树和AVL树一样，都是在二叉搜索树的基础上，添加了自平衡的功能
  • 那么，都需要继承自二叉搜索树BST
  • 回想一下，AVL树是通过维护平衡因子，使其失衡后恢复平衡
  • 那红黑树呢？其实上面谈性质的时候已经说了：通过维护节点的颜色（红、黑），使其失衡后恢复平衡
  • 所以我们内部定义了两个常量：RED、BLACK，用于方便标识节点的颜色。因为只有两种颜色，使用boolean类型即可
  • 还有：afterAdd()、afterRemove()两个方法，相信不用我多说了吧。如果不清楚，强烈推荐看看上篇文章《AVL树的实现》
  • 基本构造了解后，来看看红黑树内部的节点对象。外部使用的是元素，可内部操作的是节点。这一点应该很清楚了

（3）红黑树内部的节点

  • 二叉搜索树的节点，就维护了父亲、兄弟节点、存储的元素
  • 而AVL树在此基础上，添加了节点高度的属性
  • 那红黑树的节点应该长什么样呢？
    private static class RBNode<E> extends Node<E> {
        /**
         * 节点的颜色【默认为红色】
         */
        boolean color = RED;
        public RBNode(E element, Node<E> parent) {
            super(element, parent);
        }
    }
  • 在二叉搜索树节点的基础上，额外维护一个颜色即可
  • 并且让它的颜色默认为红色，因为能够更快的满足红黑树的性质

（4）一些辅助函数

① 节点上色

  • 既然牵扯到了颜色，之后肯定需要调整节点的颜色
  • 方便之后使用，我们提供给节点上色的方法
    /**
     * 将节点上色
     * @param node：待染色节点
     * @param color：待染的颜色
     * @return ：被染色的节点
     */
    private Node<E> color(Node<E> node, boolean color) {
        if (node == null) return node;
        ((RBNode<E>)node).color = color; // 染色
        return node;
    }

    /**
     * 将节点染成红色
     */
    private Node<E> red(Node<E> node) {
        return color(node, RED);
    }

    /**
     * 将节点染成黑色
     */
    private Node<E> black(Node<E> node) {
        return color(node, BLACK);
    }

② 查看节点颜色

  • 因为要遵循红黑树的5条性质，之后肯定要经常获取节点的颜色信息
  • 方便之后使用，我们提供获取节点颜色的方法
    /**
     * 查看节点颜色
     * @param node：节点
     * @return ：节点的颜色
     */
    private boolean colorOf(Node<E> node) {
        return node == null ? BLACK : ((RBNode<E>) node).color;
    }

    /**
     * 查看是否是红色的节点
     */
    private boolean isRed(Node<E> node) {
        return colorOf(node) == RED;
    }

    /**
     * 查看是否是黑色的节点
     */
    private boolean isBlack(Node<E> node) {
        return colorOf(node) == BLACK;
    }

二、添加

（1）分析

  • 如下，有一棵红黑树，先不管如何在它上面添加节点，先来做一个约定：
  • 在讨论红黑树时，心中应该立刻想到它等价的B树

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  • 先看看右边等价的B树，回想B树的性质：如果在B树中添加元素，新元素必然是添加到叶子节点中
  • 所以，添加的节点只能位于最下层的节点：（4、8、10）（16、18）（22、25）（36）
  • 而对应红黑树节点的颜色，对应B树的叶子节点就只有这四种情况：红黑红、黑红、红黑、黑
  • 又因为有一些节点已经有叉了，所以最终节点能添加的位置只有这些了：

image-20221109201014803

  • 也就是上图所示的：新1 ~ 新12，12种情况。其实...... 也不多是吧......
  • 又因为想要红黑树尽快的成长起来，添加的节点默认是红色
  • 我们一直在说：添加的节点默认是红色，能够尽快的满足红黑树的5条性质。为什么呢？
  • 回看性质：

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  • ①：肯定是毋庸置疑的
  • ②：因为B树新添加的节点肯定在叶子节点中，在红黑树中，这点也毋庸置疑
  • ③：红黑树的叶子节点本身就是假想的null节点，本身就是黑色，这点没有问题
  • ⑤：如果添加的节点是红色，从任一节点到新添加的节点，其经过的黑色节点个数肯定不会改变（有没有加入黑色节点），这一点也没有问题
  • ④：乍眼一看，新节点如果是红色，①、②、③、⑤ 这几条性质都能满足。而第 ④ 条性质呢？
    • 如果添加的节点的父节点本身就是红色了，再添加一个红色的节点，肯定不会满足性质 ④
    • 则需要额外的操作，来使其重新满足性质 ④
  • 经过这简单的分析，你应该知道，我们为什么要将新添加的节点默认为红色了吧

（2）分类讨论

  • 添加的情况太多了，我们来分组讨论一下这 12 种情况：
    • 我们知道了为什么要默认节点为红色，那么我们也就可以根据添加后是否满足性质④，来分组了

① 父节点是黑色 —— 没有影响

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  • 因为父节点是黑色，添加了一个新的红色节点。能够满足红黑树的性质④
  • 并且也满足4阶B树的性质，也就是说不会产生上溢现象
  • 还满足将红黑树转换成4阶B树的情形（将红色子节点与父节点合并成一个超级节点）
  • 因此：父节点是黑色的情况，不需要做任何处理

② 父节点是红色 —— 需要特殊处理

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  • 这八种情况，肉眼可见，首先就不满足红黑树的性质④了
  • 也太多了，简直...... 还能不能再细分情况呢？
  • 确实很多，那我们回想下4阶B树的性质：1 ≤ 任一节点的元素个数 ≤ 3
  • 剩下的8种情况中，我们发现，添加新节点时，有些会超过3个节点（会出现上溢现象），有的不会出现上溢现象
  • 那我们就可以根据添加后，在其等价的4阶B树中，节点是否会上溢。来分类讨论
1、未上溢 —— 通过旋转解决

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  • 这几种情况，将添加后的新节点合并上去变成4阶B树的节点，也不会产生上溢现象。只需要通过 染色 + 旋转 即可解决
  • 说到旋转，我们可不陌生了，如果还陌生的话，再次强烈推荐看看：《透过AVL树的实现，学习树的旋转》
  • 若需要旋转，新添加的节点会出现LL、RR、LR、RL，这四种情况
  • 与之前AVL树的讨论一样，我们先来看看单旋即可解决的两种情况：LL、RR

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  • 先不谈如何旋转，我们先站在将红黑树等价转换成B树的角度，来看问题

  • 如果需要将新添加的节点向上合并到父节点所在层，那么父节点肯定得是黑色，被向上合并的子节点都得是红色

  • 如果这一点明白了，那么就明白，为什么要先染色了（当然，先染色是因为还未旋转、节点的关系还没发生变化、更容易找到需要染色的节点）

  • 来看看思路：

    • 1、将父节点染成【黑色】，祖父节点染成【红色】
    • 2、将祖父节点进行单旋操作【LL就右旋、RR就左旋】
    • 3、将父节点变成祖父节点的子节点

  • 至于对旋转的分析，可以看看AVL树的文章，这里就不多赘述了，直接看图

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  • 我们再来看看需要双旋才能解决的两种情况：RL、LR

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  • 与单旋的操作类似，染色 + 旋转，看看思路：

    • 1、将自己染成【黑色】，祖父节点染成【红色】
    • 2、进行双旋【LR：（先父节点左旋、后祖父节点右旋）RL：（先父节点右旋、后祖父节点左旋）】
    • 3、将自己变成祖父节点的子节点

  • 直接看图

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  • 虽然我没有把旋转的过程拆开，但还是希望你能够想一想，将其染色后，旋转的过程
  • 如果你了解了上面的四种情况。那恭喜你：在红黑树中添加新节点，有八种情况，你已经理解其思想了，我们来看看最后的四种
2、上溢 —— 通过合并解决

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  • 如图所示，这四个节点，添加任何一个，都超过了4阶B树节点所能容纳元素的最大值，也就是添加后，会变成上溢节点
  • 在B树中，若节点出现了上溢的现象，我们是通过向上合并来解决的
  • 那在红黑树中呢？其实也差不多，不信你跟着我的思路思考一下

image-20221110091350803

  • 如上图，我们添加了节点新1后，站在B树的角度来看

  • 出现了上溢节点：（新1、4、8、10），需要解决上溢【找出中间的元素，向上与父节点合并，再将剩下的元素拆分成左右子节点】

  • 于是找到了元素：4 和 8，其实将谁向上合并都可以

  • 为了方便，我们选择了元素8，为什么呢？

  • 因为这是红黑树，元素8所在的红黑树节点的左右两边，本身就是拆分开的节点，而且找它也很容易

  • 那我们直接向上合并，看看还会出现什么问题

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  • ①可能会对B树的父节点产生副作用。如图（8、13、20、30），是再次导致上溢就再次出现了上溢节点

  • ②分裂的子节点，作为红黑树等价转换的B树节点，父节点必须是黑色。如图B树节点(新1、4)和（10），是通过红黑树等价转换的，也即。4 和 10 必须是黑色节点

  • 如果解决了这两个问题，那这四种情况，也就能顺利的添加上了

  • 我们先解决第②个问题：子节点不是黑色

  • 如果我们先将祖父节点染红、父节点和叔父节点染黑，再向上合并祖父节点呢？

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  • 我们发现，只需要解决对B树而言，产生的副作用就行了。这里出现了新的上溢节点：（8、13、20、30）
  • 你会发现，我们在染色的时候，不仅将：父节点、叔父节点染成了【黑色】，也将祖父节点染成了【红色】，为什么呢？
  • 现在新节点的祖父节点8，是红色
  • 而在红黑树中新添加一个节点的颜色，默认也是红色
  • 那我们能否将祖父节点，看待成是一个新添加的节点呢？
  • 如图所示，将 8 添加到节点：（13、20、30）中
  • 刚刚讨论的，红黑树中，8的父节点13是红色（添加到父节点也是红色的情况）。所以需要特殊处理
  • 又因为出现了上溢现象。需要染色 + 合并。即：

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  • 也是将祖父节点染成红色、父节点和叔父节点染成黑色后，再向上合并祖父节点
  • 经过这样处理过后，可以发现，已经上溢到了根节点。树都长高了
  • 这时只需要将根节点20，变成黑色节点即可

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  • 至此，这一种情况也解决完了。红黑树又恢复了最初的平静

  • 向上合并，为什么可能会产生副作用呢？我们是通过什么思路来解决上溢的呢？

  • 其实不难想通，我们后面的思路，是将其向上合并的节点，看成是一个新添加的节点。那么新添加的节点。总共有12种情况，有4种没有影响，剩下的8种都需要做额外的操作，才能满足红黑树的5条性质

  • 我们一路分类讨论下来，分了三种情况

  • 向上合并时，不过是按我们分类的三种情况，再讨论一次罢了，这个过程其实就是一个递归的过程

  • 至此，添加的思路就已经分析完成了。如果还有些迷，下面我们来总结一下红黑树的添加吧！

（3）添加的总结

  • 总共12种情况，我们利用图示，分了下面三种情况讨论
  • 如果用文字描述，就是：先看父节点，再看叔父节点

image-20221110141301732

① 父节点是黑色 —— 不需要处理

  • 应该可以不用解释了，因为都不需要额外处理嘛
  • 除了这四种情况，下面讨论的叔父节点的颜色，都是基于父节点是红色的情况讨论的

② 叔父节点是红色 —— 通过合并解决

  • 这种会出现上溢现象，需要：
    • 先染色，再向上合并
    • 最后将向上合并的父节点当做新添加的节点。递归调用添加的逻辑
    • 如果向上合并到了根节点，那么会使对应的B树高度 + 1，这时直接将根节点变成黑色即可

③ 叔父节点不是红色 —— 通过旋转解决

  • 1、叔父节点是黑色（递归解决上溢时可能会遇到）
  • 2、没有叔父节点的情况，又因为null节点（叶子节点）也是黑色
  • 这种情况需要：
    • 先染色，再单旋或双旋

（4）添加的实现

添加前的准备

  • 分析与思考结束了，在用代码实现之前，我们先来复习一下，二叉搜索树添加的逻辑：

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① 父节点是黑色 —— 不需要处理

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  • 就很单纯，取出父节点，看看父节点的颜色是否为黑色，是的话，不需要做任何处理
  • 但是有可能是添加了根节点，根节点必须是黑色，而新添加的节点，默认是红色，所以需要将其染成黑色

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② 叔父节点是红色 —— 通过合并解决

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  • 看完代码，你可能会有疑惑，不是说要合并解决吗？可是也没看到我去写合并的逻辑啊！
  • 是的，其实并不需要去合并，因为我们将其红黑树等价转换成4阶B树，就是方便我们理解
  • 而且转换的时候，是将黑色节点与它的红色子节点合并在一起，变成一个B树节点。那我们改变了节点的颜色，它自然就会重新等价转换了
  • 你看看这幅图，左边是等价转换的B树，用于方便理解
  • 而右边是红黑树，要保持它的性质，真正的操作

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③ 叔父节点不是红色 —— 通过旋转解决

  • 这种情况，需要通过旋转来解决。而旋转的逻辑，大部分应该都是和AVL树中的逻辑相同的
  • 所以在实现这种情况之前，我们先来改造一下继承关系：将中间再加入一层，平衡二叉搜索树

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  • 改变了继承关系之后，我们就能实现代码了

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  • 为了写清楚处理逻辑，上面的代码有些重复的地方（待会贴完整代码的时候再精简代码）
  • 思路其实很简单，先判断是哪种情况：LL、LR、RR、RL
  • 根据情形先将对应节点染色、然后再进行旋转【旋转的操作就不多赘述了】

④ 完整实现afterAdd(Node<E> node)

protected void afterAdd(Node<E> node) {
    Node<E> parent = node.parent;
    if (parent == null) { // 添加的节点是根节点
        black(node); // 将其染成黑色
        return;
    }

    if (isBlack(parent)) return; // 1、父节点是黑色 —— 不需要处理

    // 写完发现：2、3两种情况，都需要将祖父节点先染成红色，将其抽出来
    Node<E> grandparent = red(parent.parent);
    Node<E> uncle = parent.sibling(); // 取出叔父节点

    if (isRed(uncle)) { // 2、叔父节点是红色 —— 通过合并解决
        // 将父节点、叔父节点染成黑色
        black(parent);
        black(uncle);
        afterAdd(grandparent); // 再将祖父节点当做新添加的节点，去递归调用添加后的逻辑
        return;
    }

    // 来到这里说明：3、叔父节点不是红色 —— 通过旋转解决

    if (parent.isLeftChild()) { // L
        if (node.isLeftChild()) { // LL
            black(parent); // 父节点染成黑色
        } else { // LR
            black(node); // 将自己染成黑色
            // 先左旋、后右旋
            rotateLeft(parent);
        }
        // LL、LR最后都需要将祖父节点右旋
        rotateRight(grandparent);
    } else { // R
        if (node.isRightChild()) { // RR
            black(parent); // 父节点染成黑色
        } else { // RL
            black(node); // 将自己染成黑色
            // 先右旋、后左旋
            rotateRight(parent);
        }
        rotateLeft(grandparent);
    }
}

写在后面

  • 完整代码在下一篇《红黑树的删除》后会一起给出，可根据文章分析与代码尝试实现~

本篇收获

  • 红黑树的基本构造与辅助函数
  • 红黑树添加的思路分析与分类讨论
  • 熟练掌握树的旋转操作

读后思考

  • 能否根据本文分析红黑树添加操作的方法，尝试分析红黑树的删除呢？
  • 下一篇文章，我们将一起来分析以及实现红黑树的删除~
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