"又见背包，让我不再走得缓慢"

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题目描述，有 $n$ 级台阶，每一步可以上 $1$ 级、$2$ 级、...、$m$ 级（$m \le n$）。试问一共有多少种不同的方法可以爬到第 $n$ 级台阶。

中规中矩的动态规划

多步爬楼梯问题这个问题是从 # 70. 爬楼梯 延伸出来的，与 # 377. 组合总和 Ⅳ 极其类似，翻译过来就是，从 $1、2、3、...、m$ 序列中选择任意元素（可重复），所有元素之和等于 $n$（因为一共有 $n$ 级台阶，也是背包容量）的组合共有多少个？ 顾名思义，这是一道 完全背包 的 排列 问题。

定义：1、元素和（背包容量）为 $n$；2、元素集合 $nums = [0, 1, 2, 3,..., m - 1, m]$。

NOTE: $nums$ 数组从元素 $0$ 开始是为了让元素的 $index$ 与 $value$ 相等，便于计算。

1、确定 dp 状态定义

定义 $dp[j]$ 是凑成目标整数为 $j$ 的排列个数，其中 $j \in [0, n]$。

2、确定 dp 状态方程

完全背包问题一维 $dp$ 模型（参考 # 重识背包问题（下））应为，$dp[j] += dp[j - nums[i]]$。对于爬楼梯问题有，$i$ 恒等于 $nums[i]$，所以状态方程可以简化成，

其中，$j - i \ge 0$，如果 $j - i \lt 0$，继续循环即可。

3、确定 dp 初始状态

当目标整数为 $0$ 时，即 $j = 0$，能凑成 $0$ 的排列个数一定为 $1$，即不选择任何元素，故 $dp[0] = 1$。

4、确定遍历顺序

完全背包的排列问题，必须 先遍历背包，再遍历物品，故

• 外循环，从 $j = 1$ 遍历到 $j = n$

• 内循环，从 $i = 1$ 遍历到 $i = m$

5、确定最终返回值

依然要回归到 $dp$ 状态定义中，即 $dp[n]$ 是凑成 $n$ 的排列个数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n)
 * 时间复杂度 O(m * n)
 */
function climbStairs(n: number, m: number): number {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);

    dp[0] = 1;

    for (let j = 1; j <= n; j++) {
        for (let i = 1; i <= m; i++) {
            if (j - i >= 0) {
                dp[j] += dp[j - i];
            }
        }
    }

    return dp[n];
};

当 $m = 2$ 时，问题退化成 # 70. 爬楼梯 ，内层循环变为，

for (let i = 1; i <= 2; i++) {
    if (j - i >= 0) {
        dp[j] += dp[j - i];
    }
}

当 $j = 1$ 时，

• $i = 1$，$j - i = 0 \ge 0$，$dp[1] += dp[0] => dp[1] = 1$

• $i = 2$，$j - i = -1 \lt 0$，不执行，此时 $dp[1] = 1$

递推形式 $dp[1] = dp [0]$

当 $j = n$ 时，$n \ge 2$

• $i = 1$，$j - i = n - 1 \gt 0$，$dp[n] += dp[n - 1] => dp[n] = dp[n - 1]$ ($dp[n]$ 初始为 $0$）

• $i = 2$，$j - i = n - 2 \ge 0$，$dp[n] += dp[n - 2] => dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - 2]$

递推形式 $dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - 2]$，侧面证明 # 70. 爬楼梯 的最优子结构是完全正确的。

参考

# 重识动态规划

# 重识背包问题（上）

# 重识背包问题（下）