"斐波那契，动态规划开始的地方"

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70. 爬楼梯题目描述：假设你正在爬楼梯。需要 $n$ 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 $1$ 或 $2$ 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？输入 $n$ = 7，输出 $21$ 。

中规中矩的动态规划

动态规划问题最难的一点就是找到问题的 最优子结构，即如何定义 $dp$ 状态数组和 $dp$ 状态转移方程，而最简单的动态规划问题的最优子结构就写在问题的题面上。

对于 $n$ 级台阶，如果只知道爬到第 $n-1$ 级台阶的不同方法，记做 $S_{n-1}$ ，再一次性爬一阶即可到达顶点；如果只知道爬到第 $n-2$ 级台阶的不同方法，记做 $S_{n-2}$ ，再一次性爬两阶即可到达顶点，所以爬到第 $n$ 级台阶共有 $S_n$ 种方法， $S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$ 。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i]$ 为爬上 $i$ 级台阶的不同方法数，其中 $i \in [1, n]$ ;

NOTE: $i$ 的定义域虽为 $[1, n]$ ，但是数组是从 $0$ 开始的，所以初始化 $dp$ 的长度应该是 $n + 1$ 。

2、确定 dp 状态方程

$dp$ 的状态转移方程：

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

3、确定 dp 初始状态

观察状态方法，有 $i - 1$ 和 $i - 2$ 两项，故我们需要定义，

当 $i = 1$ 时， $1$ 级台阶只能向上爬一步，即 $dp[1] = 1$ ;
当 $i = 2$ 时， $2$ 级台阶可以一步一步爬，也可以一次性爬两步，即 $dp[2] = 2$ 。

NOTE: 这里无需纠结 $0$ 级台阶，即 $dp[0] = 0$ 还是 $1$ 的问题，这本身是一个无意义的点，而且循环遍历时也不会使用这个值，忽略即可。

4、确定遍历顺序

由于 $i = 1$ 和 $i = 2$ 均已定义完毕，故遍历顺序从 $i = 3$ 到 $i = n$ 。

5、确定最终返回值

回归状态定义，爬上 $n$ 级台阶的不同方法数为 $dp[n]$ 。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n)
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function climbStairs(n: number): number {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;

    for (let i = 3; i <=n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    return dp[n];
};

状态压缩， $dp[i]$ 仅与 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 相关，所以可以将空间复杂度 $O(n)$ 压缩成 $O(1)$ 。

/**
 * 空间复杂度 O(1)
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function climbStairs(n: number): number {
    if (n <= 2) return n;
    
    let dp1 = 1, dp2 = 2;
   
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        let temp = dp2;
        dp2 = dp1 + dp2;
        dp1 = temp;
    }
    
    return dp2;
};

思维提升-斐波那契通项公式

细想爬楼梯问题，类似于斐波那契数列，而斐波那契数列的通项公式为， $dp[n] = \frac{1}{\sqrt 5} \times [({\frac{1+{\sqrt 5}}{2}})^n-({\frac{1-{\sqrt 5}}{2}})^n]$

斐波那契数列展开：1、1、2、3、5、 8、13、21、34...
爬楼梯的数列展开：1、2、3、5、8、13、21、34、55...

发现规律了吧～～所以对于爬楼梯问题的通项公式为，

dp[n] = \frac{1}{\sqrt 5} \times [({\frac{1+{\sqrt 5}}{2}})^{n+1}-({\frac{1-{\sqrt 5}}{2}})^{n+1}]

代码示例

/**
 * 空间复杂度O(log(n))
 * 时间复杂度O(log(n))
 */
function climbStairs(n: number): number {
    if (n <= 2) {
        return n;
    }

    const sqrt5 = Math.sqrt(5);
    const fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
    return Math.round(fibN / sqrt5);
};

💥 NOTE，JS中的 Math.pow 函数空间复杂度与时间复杂度大致为 $log(n)$ ，具体与引擎实现有关，不做深入分析。

参考

# 重识动态规划

70. 爬楼梯 (climbing stairs)