"又见背包，让我不再走得缓慢"

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377. 组合总和 Ⅳ 题目描述：给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

示例
输入：$nums = [1,2,3]$, $target = 4$ 输出：$7$ 解释：所有可能的组合为：(1, 1, 1, 1)、(1, 1, 2)、(1, 2, 1)、(1, 3)、(2, 1, 1)、(2, 2)、(3, 1)。$note:$ 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

乍一看本题和 # 518. 零钱兑换 II 如出一辙，但是细看示例才发现，题目提到的“组合”个数其实是“排列”个数，所以这道题其实是 完全背包 问题下的 排列 问题。

中规中矩的动态规划

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 在 $[0,i)$ 区间内选择元素时，凑成目标整数为 $j$ 的排列个数，其中 $i \in [0, n]$，$n=nums.length$， $j \in [0, target]$。

2、确定 dp 状态方程

当 放弃 $nums[i - 1]$ 元素时，则有 $dp[i][j] = dp[i - 1][j]$，此时 $j \lt nums[i - 1]$

当 选择 $nums[i - 1]$ 元素时，则有 $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[n][j - nums[i]]$，此时 $j \ge nums[i - 1]$

NOTE：

1. 为何是 $nums[i - 1]$ 而不是 $nums[i]$？因为 $i$ 方向上有一个“哨兵”，即 $dp$ 在 $i$ 方向上比 $nums$ 多了一个元素。

2. 为何是 $dp[n][j - nums[i]]$ 而不是 $dp[i- 1][j - nums[i]]$？因为这是 排列 问题，$dp[i- 1][j - nums[i]]$ 计算出来的依然是组合个数，而非排列。

3、确定 dp 初始状态

对于任意 $i \in [0, n]$，均存在 $dp[i][0] = 1$，即背包容量为 $0$，总有一种选择方法（什么物品都不选）。

4、确定遍历顺序

完全背包的排列问题，先遍历背包，再遍历物品，故

• 外循环，从 $j = 1$ 遍历到 $j = target$

• 内循环，从 $i = 1$ 遍历到 $i = n$

5、确定最终返回值

依然要回归到 $dp$ 状态定义中，即 $dp[n][target]$ 在 $[0,n)$ 区间内选择元素时，凑成目标整数为 $j$ 的排列个数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(target * nums.length)
 * 时间复杂度 O(target * nums.length)
 */
function combinationSum4(nums: number[], target: number): number {
    const n = nums.length;
    const dp = Array.from({ length: n + 1}, () => new Array(target + 1).fill(0));

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }

    for (let j = 1; j <= target; j++) {
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            if (j - nums[i - 1] < 0) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[n][j - nums[i - 1]];
            }
        }
    }

    return dp[n][target];
};

思维提升-空间压缩

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[j]$ 是凑成目标整数为 $j$ 的排列个数，其中 $j \in [0, target]$。

2、确定 dp 状态方程

完全背包问题一维 $dp$ 模型（参考 # 重识背包问题（下））应为，

其中，

• $i \in [0, n),n = nums.length$

• $j - nums[i] \ge 0$

🎡 NOTE: 当 $j - nums[i] \lt 0$ 时，继续循环即可，无须额外计算。

3、确定 dp 初始状态

当目标整数为 $0$ 时，即 $j = 0$，能凑成 $0$ 的排列个数一定为 $1$，即不选择任何元素。（因为题目规定了任意 $nums[i] \ge 1$，所以这里才能直接赋值为 $1$）。

4、确定遍历顺序

完全背包的排列问题，必须先遍历背包，再遍历物品，故

• 外循环，从 $j = 1$ 遍历到 $j = target$

• 内循环，从 $i = 0$ 遍历到 $i = n-1$

5、确定最终返回值

依然要回归到 $dp$ 状态定义中，即 $dp[target]$ 是凑成 $target$ 的排列个数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(target)
 * 时间复杂度 O(target * nums.length)
 */
function combinationSum4(nums: number[], target: number): number {
    const n = nums.length;
    const dp = new Array(target + 1).fill(0);

    dp[0] = 1;

    for (let j = 1; j <= target; j++) {
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            if (j - nums[i] >= 0) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
    }

    return dp[target];
};

参考

# 重识背包问题（上）

# 重识背包问题（下）