一文理解B样条曲线、Nurbs曲线上一篇文章一文理解贝塞尔曲线讲到，n次贝塞尔曲线实际上就是我们高中学的n次函数。由于它

上一篇文章一文理解贝塞尔曲线讲到，n次贝塞尔曲线实际上就是我们高中学的n次函数： $y = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n}$ 。由于贝塞尔曲线的这个特点，也造成了贝塞尔曲线的最大缺陷————不能局部修改，即改变其中一个参数时会改变整条曲线。

为了解决贝塞尔曲线的这个问题，就提出了B样条曲线的方式。它的解决思路很简单，就是分段，把几个曲线拼接在一起，这样我们就可以只修改其中一条曲线，而不会改动其他曲线，从而实现局部修改。

B样条曲线表达式

思路好理解，但是困难的是理解B样条曲线的公式。下面一大坨都是。

{\mathbf {P}}(t)=\sum _{{i=0}}^{{m-1}}{\mathbf {P}}_{{i}}b_{{i,n}}(t){},t\in [t_{n - 1}, t_{m + 1}]

b_{{i,1}}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mathrm {}}\quad t_{i}<t<t_{{i+1}}\\0&{\mathrm {其他}}\end{matrix}}\right. \\ b_{{i,n}}(t)={\frac {t-t_{{i}}}{t_{{i+n-1}}-t_{i}}}b_{{i,n-1}}(t) + {\frac {t_{{i+n}}-t}{t_{{i+n}}-t_{{i+1}}}}b_{{i+1,n-1}}(t) 约定 \frac{0}{0} = 0

我们先不看这个公式，而是考虑下，如果我们要让一个曲线A，由两条不同的曲线，假设是曲线B、曲线C拼接而成，我们需要什么东西。

首先我们需要了解曲线B、曲线C的函数。那么这个曲线函数由什么确定呢？上文讲过贝塞尔曲线是由控制点来确定的，这里也一样，我们需要控制点来确定曲线B、曲线C的函数。

但是如何分配控制点呢，假设4个控制点abcd，如果是ab、bc、cd控制点，这时候是直线；如果是abc、bcd控制点呢，这时候是曲线，这时候我们就需要确定曲线B、曲线C的系数，即它是几次函数。

其次设置好控制点后，我们还需要决定曲线B、曲线C的范围，比如说[1,2)、[2,3],让它们在2处相交。不然就是两条曲线，而不是一条曲线了。

这时我们再来看第一个公式 ${\mathbf {P}}(t)=\sum_{{i=0}}^{{m-1}}{\mathbf {P}}_{{i}}b_{{i,n}}(t){},t\in [t_{n - 1}, t_{m + 1}]$ ，其中的参数意义如下：

$m$ ：表示控制点的个数
$P_i$ ：表示对应的控制点
$i$ ：表示点的系数， $P_0$ $P_1$ $P_2$ $P_3$ 分别表示四个控制点
$n$ : 表示B样条曲线的次数，组成的曲线的次数是 n - 1；例如3次B样条曲线，该曲线是由2次函数的曲线拼接起来的
$t_i$ ：表示取值范围，它的数量等于 m + n。例如，m = 4, n = 3时，有7个值，它可以取值是 [0,1,2,3,4,5,6]，这时 $t_0 = 0$ 、 $t_1 = 1$ 以此类推; $t_i$ 也可以取值[0,0,1,2,3,4,5]，也可以取小数，只要满足后面的数大于前面的数就可以了
$b_{i,n}$ ：是Cox-deBoor 递归公式，这个后面介绍。可以简单理解成多项式的系数

当 $m = 4$ ， $n = 3$ ， $t_i = [0,1,2,3,4,5,6]$ 时，我们就可以得到下面的表达式

{\mathbf {P}}(t)=\sum_{{i=0}}^{{3}}{\mathbf {P}}_{{i}}b_{{i,3}}(t){},t\in [t_2, t_5] \\ 展开得到：{\mathbf {P}}(t) = P_0b_{0,3} + P_1b_{1,3} + P_2b_{2,3} + P_3b_{3,3}

Cox-deBoor 递归公式（公式2）是递推公式，我们需要从i=0,n=1开始，一步步计算出 $b_{i,n}$ 的表达式

最简单的是 $b_{i,1}$ ，当 i = 0、1、2、3时，它的表达式都是

b_{{i,1}}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mathrm {}}\quad t_{i}<t<t_{{i+1}}\\0&{\mathrm {其他}}\end{matrix}}\right.

即i为0时

b_{{0,1}}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mathrm {}}\quad t_{0}<t<t_{{1}}\\0&{\mathrm {其他}}\end{matrix}}\right.

i为1时

b_{{1,1}}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mathrm {}}\quad t_{1}<t<t_{{2}}\\0&{\mathrm {其他}}\end{matrix}}\right.

i=2、3可以依此类推，这里就不继续了。

我们把 n = 2代入， $b_{i,2}$ 就等于

b_{{i,2}}(t)={\frac {t-t_{{i}}}{t_{{i+2-1}}-t_{i}}}b_{{i,2-1}}(t) + {\frac {t_{{i+2}}-t}{t_{{i+2}}-t_{{i+1}}}}b_{{i+1,2-1}}(t)

化简b_{{i,2}}(t)={\frac {t-t_{{i}}}{t_{{i+1}}-t_{i}}}b_{{i,1}}(t) + {\frac {t_{{i+2}}-t}{t_{{i+2}}-t_{{i+1}}}}b_{{i+1,1}}(t)

即i为0时

b_{{0,2}}(t)={\frac {t-t_{{0}}}{t_{{1}}-t_{0}}}b_{{0,1}}(t) + {\frac {t_{{2}}-t}{t_{{2}}-t_{{1}}}}b_{{1,1}}(t)

把上面求得的 $b_{{0,1}}(t)$ 和 $b_{{1,1}}(t)$ 带入，可以得到

b_{{0,2}}(t)=\begin{cases}\frac{t-t_{0}}{t_{1}-t_{0}} & t_{0}<t<t_{1}\\ \frac {t_{{2}}-t}{t_{{2}}-t_{{1}}} & t_{1}<t<t_{{2}}\\ 0 & 其他 \end{cases}

上面我们设置 $t_0 = 0, t_1 = 1 , t_2 = 2$ ，代入可得到

b_{{0,2}}(t)=\begin{cases}t & 0<t<1\\ 2 - t & 1<t<2\\ 0 & 其他 \end{cases}

类似的我们可以按照相同的方法一步一步的代入，最后就可以求出 $b_{0,3}$ 、 $b_{1,3}$ 、 $b_{2,3}$ 、 $b_{3,3}$ 的表达式，这里就不浪费时间推导了。

上面我们把 $t_i = [0,1,2,3,4,5,6]$ ，可以看到每个数之间都相差1；如果我们让它们的差值不相等，即 $u_{i+1} - u_i \neq 常数$ 时，这种曲线就是Nurbs曲线，也叫做非均匀B样条曲线。

Nurbs曲线和B样条曲线可以简单理解成 C 与 C++ 的关系。C++ 比 C 多了面向对象的能力；而Nurbs曲线比B样条曲线也多了一项能力，就是可以表示圆和椭圆等封闭曲线。

根据上一篇文章一文理解贝塞尔曲线和这一篇文章，我们了解了贝塞尔曲线、B样条曲线、Nurbs曲线。下面我们列一个表格来做对比：