题目
我昨晚偶然编出了一道水题，名为转账问题：已知银行卡里有不超过n元，你想把卡里所有钱提到某信支付，但你无法看到卡里的钱，你只能执行若干次转账i元的操作，每次看到转账成功与失败的提示。问至少需要操作多少次。n和i是自然数。形式化描述：你的策略y是一段代码，初始输入为n，代码对于实际的i = 1~n元各有一个需要的猜测次数x[i]，则y = max(x[i] for i in range(1, n + 1))，所求为min(y for y in y_set)。
本文CSDN：blog.csdn.net/hans7748829…
本文juejin：juejin.cn/post/725596…
本文52pojie：www.52pojie.cn/thread-1809…
作者：hans774882968以及hans774882968以及hans774882968
思路
尝试转i元，1 <= i <= n。如果成功，则知道卡里不超过n - i元；如果失败，则知道卡里不超过i - 1元。因此定义dp[i]为已知银行卡里有不超过i元时的最少操作次数。边界条件：dp[0~2] = 0~2。状态转移方程：dp[i] = min(max(dp[i - j], dp[j - 1]) + 1) for j in range(1, i + 1)。
接下来考虑优化这个dp转移。有一个很明显的单调性：v1 < v2时dp[v1] <= dp[v2]。i - j单减，j - 1单增，因此取i - j == j - 1的j即为最优点。
- 若
i为奇数，则dp下标取到(i - 1) // 2。 - 若
i为偶数，则dp下标取到(i - 1) // 2 + 1。
取到下标可统一为i // 2。因此转移方程可以简化为：dp[i] = dp[i // 2] + 1。对于n，答案居然就是n二进制数位的个数！
于是有推论：最优策略为：总是尝试转i - i // 2 = (i + 1) // 2元。
与力扣鸡蛋掉落问题的关系
经群友提醒，这个问题从状态转移方程的角度来看，和鸡蛋掉落问题的k = +∞的情况类似。两个问题从题面来看不像，但它们有一个相同点：1次操作无论获得什么反馈，都能缩小问题规模。因此我们写了下面的代码，验证k = n, n+1, n+2的情况下所得的dp数组不仅相等，还等于转账问题的dp数组。
代码
import numpy as np
def main():
N = 2001
dp1 = [[0] * N for _ in range(N + 2)]
def egg_drop(k, n):
for j in range(1, n + 1):
dp1[1][j] = j
for i in range(2, k + 1):
best = 1
for j in range(1, n + 1):
while best <= j and dp1[i][j - best] > dp1[i - 1][best - 1]:
best += 1
dp1[i][j] = 1 + min(dp1[i][j - best + 1], dp1[i - 1][best - 1])
dp2 = np.array([0] * N)
def bin_count(n):
for i in range(1, n + 1):
dp2[i] = dp2[i // 2] + 1
dp3 = np.array([N] * N)
def n2_dp(n):
dp3[0] = 0
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, i + 1):
dp3[i] = min(dp3[i], max(dp3[i - j], dp3[j - 1]) + 1)
egg_drop(N + 1, N - 1)
bin_count(N - 1)
n2_dp(N - 1)
ans1 = np.array([dp1[i][i] for i in range(N)])
ans2 = np.array([dp1[i + 1][i] for i in range(N)])
ans3 = np.array([dp1[i + 2][i] for i in range(N)])
assert (ans1 == dp2).all() and (ans2 == dp2).all() and (ans3 == dp2).all() and (dp2 == dp3).all()
print('dp2 ', dp2[:101])
print('dp3 ', dp3[:101])
print('ans3', ans3[:101])
if __name__ == '__main__':
main()
