300. 最长递增子序列 (longest increasing subsequence)

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300. 最长递增子序列 题目描述：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。

子序列是字符元素不一定连续，但相对位置一致的序列。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

中规中矩的动态规划

本题与 # 674. 最长连续递增序列 仅差 “连续” 二字，但是整体的解题思路不变。

1、确定 dp 状态数组

依然定义 $dp[i]$ 是以 $num[i]$ 结尾的严格递增子序列的长度，其中 $i \in [0,n),n=nums.length$。

2、确定 dp 状态方程

既然子序列可以不连续，当我们遍历到 $nums[i]$ 时，不能仅仅判断 $nums[i]$ 与 $nums[i - 1]$，还额外需要另外一维状态，即 $nums[j]$，其中 $j \in[0, i)$。

• 当 $nums[i] \gt nums[j]$ 时，符合严格递增， 此时存在 $dp[i] = dp[j] + 1$；

• 当 $nums[i] \le nums[j]$ 时，直接忽略即可。

NOTE: 每次遍历 $j$ 时需要对 $dp[i]$ 取最大值，即 $dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)$

3、确定 dp 初始状态

$dp$ 初始化的每个元素为 $1$（非严格增序数列的最长递增序列为 $1$）；

4、确定遍历顺序

• 外层循环从 $i = 1$ 遍历到 $i = n - 1$；

• 内层循环从 $j = 0$ 遍历到 $j = i - 1$。

5、确定最终返回值

回归到 $dp$ 定义中，$dp[n - 1]$ 仅代表以 $n-1$ 结尾的最长子序列的长度，并不是全局最长子序列的长度，应该从 $dp$ 数组中选择最大值，即 $max(...dp)$。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n)
 * 时间复杂度 O(n^2)
 */
function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    const dp = new Array(n).fill(1);

    for (let i = 1; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }

    return Math.max(...dp);
};

/**
 * 空间复杂度 O(n)
 * 时间复杂度 O(n^2)
 */
function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    const dp = new Array(n).fill(1);
    let ans = 1;

    for (let i = 1; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        ans = Math.max(ans, dp[i])
    }

    return ans;
};

参考

# 重识动态规划