"斐波那契，动态规划开始的地方"

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63. 不同路径 II 题目描述：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。现在考虑网格中有障碍物，那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例	看图
输入： $obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]$ ；输出： $2$ ；解释： $3$ x $3$ 网格的正中间有一个障碍物。从左上角到右下角一共有 $2$ 条不同的路径： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下； 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

中规中矩的动态规划

本题目与 # 62. 不同路径的最优子结构相似，只是要额外处理一下"障碍物"。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 是走到 $(i,j)$ 节点的不同路径数，其中，

$i \in [0,m),j \in [0,n),m=obstacleGrid.length,n=obstacleGrid[0].length$ 。

2、确定 dp 状态方程

当没有"障碍物"时（ $obstacleGrid[i][j] == 0$ ）， $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]$ ;

当存在"障碍物"时（ $obstacleGrid[i][j] == 1$ ）， $dp[i][j] = 0$ ，因为没有一条路能到达这里。

3、确定 dp 初始状态

当 $i=0$ 时，对于 第一个 $j_1 \in [0,n)$ , 且 $obstacleGrid[0][j_1] == 1$ ，那么

$j \in [j_1,n)$ ，都有 $dp[0][j] = 0$
$j \in [0,j_1)$ ，都有 $dp[0][j] = 1$

当 $j=0$ 时，对于 第一个 $i_1 \in [0,m)$ , 且 $obstacleGrid[i_1][0] == 1$ ，那么

$i \in [i_1,m)$ ，都有 $dp[i][0] = 0$
$i \in [0,i_1)$ ，都有 $dp[i][0] = 1$

4、确定遍历顺序

第一层循环从 $i=1$ 到 $i=m-1$ ;
第二层循环从 $j=1$ 到 $j=n-1$ 。

NOTE: 先遍历 $i$ 后遍历 $j$ ，或者先遍历 $j$ 后遍历 $i$ 均可。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中， $dp[m-1][n-1]$ 是走到 $(m,n)$ 节点的不同路径数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(m*n)
 * 时间复杂度 O(m*n)
 */
function uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid: number[][]): number {
    const m = obstacleGrid.length;
    const n = obstacleGrid[0].length;
    const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(0));
    
    for(let i = 0; i < m; i++) {
        if(obstacleGrid[i][0]) break;
        dp[i][0] = 1;
    }
    
    for(let j = 0; j < n; j++) {
        if(obstacleGrid[0][j]) break;
        dp[0][j] = 1;
    }

    for(let i = 1; i < m; i++) {
        for(let j = 1; j < n; j++) {
            if (obstacleGrid[i][j]) continue;
      
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

调整遍历顺序

/**
 * 空间复杂度 O(m*n)
 * 时间复杂度 O(m*n)
 */
function uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid: number[][]): number {
    const m = obstacleGrid.length;
    const n = obstacleGrid[0].length;
    const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(0));
    
    for(let i = 0; i < m; i++) {
        if(obstacleGrid[i][0]) break;
        dp[i][0] = 1;
    }
    
    for(let j = 0; j < n; j++) {
        if(obstacleGrid[0][j]) break;
        dp[0][j] = 1;
    }

    for(let j = 1; j < n; j++) {
        for(let i = 1; i < m; i++) {
            if (obstacleGrid[i][j]) continue;
      
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

参考

# 重识动态规划

63. 不同路径 II (unique paths ii)