"斐波那契，动态规划开始的地方"

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62. 不同路径 题目描述：一个机器人位于一个 $m \times n$ 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？

看图	示例
	输入： $m = 3, n = 7$ 输出： $28$

中规中矩的动态规划

最优子结构？ 假设我们知道走到 $(m-1,n)$ 节点共有 $S_{m-1,n}$ 种路径，那么从 $(m-1,n)$ 节点走到 $(m,n)$ 节点仅有一种走法（向下移动一步）；假设我们也知道走到 $(m,n-1)$ 节点共有 $S_{m,n-1}$ 种路径，那么从 $(m,n-1)$ 节点走到 $(m,n)$ 节点仅有一种走法（向右移动一步）。所以走到 $(m,n)$ 节点的不同路径数就等于走到 $(m-1,n)$ 节点的不同路径数加上走到 $(m,n-1)$ 节点的不同路径数，即 $S_{m,n} = S_{m-1,n} + S_{m, n-1}$ 就是我们要找的最优子结构。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 是走到 $(i,j)$ 节点的不同路径数，其中 $i \in [0,m),j \in [0,n)$。

2、确定 dp 状态方程

与之前讨论的最优子结构即为 $dp$ 状态方程，

3、确定 dp 初始状态

当 $i=0$ 时，对于任意 $j \in [0,n)$，都只有一种路径（只能横向走），故 $dp[0][j] = 1$；

当 $j=0$ 时，对于任意 $i \in [0, m)$，都只有一种路径 (只能纵向走），故 $dp[i][0] = 1$。

NOTE: $dp[0][0]$ 是一个特殊的点（起始点），在后期的计算中，$dp[0][0]$ 并不参与，所以无须纠结 $dp[0][0] = 0$ 或 $1$ 的问题。为方便 $dp$ 数组初始化，统一按照 $dp[0][0] = 1$ 处理。

4、确定遍历顺序

• 第一层循环从 $i=1$ 到 $i=m-1$;

• 第二层循环从 $j=1$ 到 $j=n-1$。

NOTE: 先遍历 $i$ 后遍历 $j$，或者先遍历 $j$ 后遍历 $i$ 均可。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中，$dp[m-1][n-1]$ 是走到 $(m,n)$ 节点的不同路径数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(m*n)
 * 时间复杂度 O(m*n)
 */
function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(1));

    for(let i = 1; i < m; i++) {
        for(let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

调整遍历顺序

/**
 * 空间复杂度 O(m*n)
 * 时间复杂度 O(m*n)
 */
function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(1));

     for(let j = 1; j < n; j++) {
        for(let i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

思维提升-排列组合

我们发现在 $m \times n$ 的格子中，一定要向下走 $m - 1$ 步才能到达第 $m$ 行，一定要右走 $n-1$ 步才能到达第 $n$ 列。所以这道题目就变成了一道高中的排列组合题目，从 $m + n - 2$ 里选择 $m - 1$ 共有多少种方法，即 $C_{m+n-2}^{m - 1}$ 或 $C_{m+n-2}^{n - 1}$ 。

代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(m*n)
 * 时间复杂度 O(m*n)
 */
function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    return factorial(m + n - 2) / factorial(m - 1) / factorial(n - 1);
};

function factorial(n: number) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    }

    return n * factorial(n - 1);
}

参考

# 重识动态规划