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4 反事实及其应用

4.1 反事实

这种 “如果” 陈述，其中 “如果” 部分是不真实的或未实现的，被称为反事实陈述。反事实的 “如果” 部分被称为假设条件，或者更多的时候，被称为先行词。

举个例子，在开车回家时，我来到了一个岔路口，在这里我必须做出选择 : 是走高速公路 (X=1)，还是走常规公路 (X=0)。我选择了常规公路，结果发现交通拥堵。一个小时后，当我回到家时，我对自己说 : “哎呀，我应该走高速公路的。” 如果我们试图用 do-运算来表示这个估计，我们会陷入僵局。

E(\text{驾驶时间}|\text{do}(\text{高速公路}),\text{驾驶时间}= 1\text{小时})

导致我们希望估计的行驶时间与实际观察到的行驶时间之间的冲突。显然，为了避免这种冲突，我们必须象征性地区分以下两个变量 :

实际驾驶时间
假设高速公路条件下的行驶时间，实际路面行驶时间已知为 1 小时。

不幸的是，由于 do-操作过于笼统，无法做出这种区分。虽然 do-操作能区分两个概率: $P(\text{驾驶时间}|\text{do(高速公路)})$ 和 $P(\text{驾驶时间}|\text{do(常规公路)})$ ，但它并没有为我们提供区分两个变量本身的方法，一个代表常规公路上的时间，另一个代表高速公路上的假设时间。我们需要这种区分，以便让实际行驶时间 (走常规公路的时间) 告知我们对假设行驶时间的评估。实际上是可以实现这样的区分。我们简单地使用不同的下标来标记这两个变量，用 $Y_{x=1}$ (或在上下文允许的情况下使用 $Y_1$ ) 表示高速公路的驾驶时间，用 $Y_{X=0}$ (或 $Y_0$ ) 表示常规道路的驾驶时间。在前面举的例子中，因为 $Y_0$ 是 Y 的实际观测值，因此希望估计的数值是

E(Y_{x=1}|X=0,Y=Y_0=1) \tag{1}

这个表达式包含了三个变量的混合 : 一个假设变量和两个观测变量，假设变量 $Y_{X=1}$ 是在一个事件 $(X=1)$ 上的断言，它以实际观测到的事件 $(X=0)$ 为条件。当使用 do-操作预测干预效应的时候，使用如下表达式 :

E(Y|\text{do}(X=x)) \tag{2}

这个表达式中的 Y 是事件 $X=x$ 的结果。这个表达式也可以用新符号描述为 $E(Y_{X=x})$ ，它也表示在 X 设置为 x 时，Y 的取值，两种表示形式都可以使用，没有必要抛弃 do-操作，而仅使用反事实符号。同时我们会遇到需要使用反事实表达式 (1) 才能解决的问题，这是因为 $Y_{x=1}=y$ 和 $X=0$ 是且一定是在不同条件下发生的事件，这两个事件发生在“两个不同的世界”。因为式 (1) 试图在给定实际驾驶时间 (我们选择走常规公路) 的情况下，估计选择高速公路行驶时间；而式 (2) 则是选择在走高速公路的世界中估计期望驾驶时间，不参考发生在另一个世界中的任何信息。与此同时，我们不能把式 (1) 中的情况规约为一个 do-表达式。

4.2 反事实的定义和计算

4.2.1 反事实的结构性解释

在前面关于干预的章节里，通过用等式 $X=x$ 来模拟将变量 X 设置为 x 的操作，从而用因果结构模型预测从未实施过的行动和决策的效应。本节中将演示通过在一个稍微不同的环境中使用相同的操作，我们如何使用结构方程模型来定于i反事实，如何从给定模型中理解反事实，以及当模型中一部分未知时，有多爱的概率能够估计出反事实。

从一个完全确定的模型 M 开始。已知模型中所有外生变量的值和函数 $\{F\}$ 。在这样一个确定的模型中，每一个对外生变量的赋值 $U=u$ 关联到群体中的每一个每个单个成员，或总体中的“个体”，或关联到某种“情形”。这一关联的理由如下 : 每一个复制 $U=u$ 唯一确定了 V 中所有变量的值，因此总体中的每一个个体的属性取得唯一的值，这依赖于个体的身份。

考虑现在的反事实的语句,“在 $U=u$ 的情况下，若 X 当初取值 x，则 Y 会取值 y”表示 $Y_x(u)=y$ , 其中 X 和 Y 是 V 中的任意两个变量。解释这个语句中的关键是将语句 “X 当初值取 x” 作为一个在当前模型中进行微小修改的陈述，以便建立前置条件 $X=x$ ，这个条件有可能与 X 的实际观测值 $X(u)$ 冲突，即允许常量 x 不同于 X 的实际观测值而不会使方程系统不协调 (反事实)。

下面进行举例演示，该例子只包含 X，Y 和 U，并由以下的两个方程定义 :

X=aU \tag{3}

Y=bX+U\tag{4}

首先计算反事实 $Y_x(u)$ ，即在 $U=u$ 的情况中，若 X 当初取值 x，则 Y 的取值情况。用 $X=x$ 替换第一个方程，得到“修正”的模型 $M_x$ :

X=x\\ Y=bX+U

代入 $U=u$ ，求解 $Y$ ，得到

Y_x(u)=bx+u

通过这个简单的计算样例，足以表明，虽然反事实被认为是假设的，甚至从统计角度看像是神秘的，但是它们很自然地从我们对现实的感知中表现出来，就像在结构模型中表示的那样。每一个结构方程模型都为所有可能的反事实赋予了确定的值。

4.2.2 反事实的基本定理

我们现在准备将反事实的概念推广到任何结构模型 M。考虑任意两个变量 X 和 Y，它们不一定在同一个方程里 (但在同一个方程组中)。令 $M_x$ 表示用 $X=x$ 代替 X 后得到的 M 的修正版本。反事实 $Y_x(u)$ 的形式定义如下

Y_x(u)=Y_{M_x}(u) \tag{5}

换言之 : 模型 M 中的反事实 $Y_x(u)$ 被定义为“修改后的”子模型 $M_x$ 中 Y 的解。式 (5) 是因果推理最基本的原则之一。

4.2.3 从总体数据到个体行为

下面用图 1 来现实反事实在个体行为推理中的作用 : X 代表学生花在课后补习班的时间，H 代表学生做的家庭作业的数量，Y 代表学生的考试成绩。每个变量的值都以学生的均值以上的标准差数给出 (也就是说，模型是标准化的，因此所有变量的均值为0，方差为1)。这个模型代表了一个随机的试点项目，在这个项目中，学生随机地指定参加课后补习。

图 1.一个描述激励 (x) 对学生考试成绩效应的模型

X=U_X\\ H=aX+U_H\\ Y=bX+cH+U_Y\\ \sigma_{U_iU_j}=0\ \ \forall i,j\in\{X,H,Y\}

假设所有因子 $U$ 都是独立的，且得到了模型 1 中的参数

a=0.5,b=0.7,c=0.4

考虑一名学生 $X=0.5,H=1,Y=1.5$ ，假设他的作业加倍，他的分数会是多少呢？

图 2.关于学生分数的反事实问题，假设作业量会增加到 $H=2$ 来进行推断

U_X=0.5\\ U_H=1-0.5\times 0.5=0.75\\ U_Y=1.5-0.7\times 0.5-0.4\times 1=0.75\\ Y_{H=2}(U_X=0.5,U_H=0.75,U_Y=0.75)=0.5\times0.7+2.0\times0.4+0.75=1.90

4.2.4 计算反事实的三个步骤

任何反事实值的确定可由如下三步过程来计算 :

溯因 : 用证据 $E=e$ 来确定 U 的值；
作用 : 修改模型 M，移除变量 X 出现在左边的方程，用 $X=x$ 代替它们，从而获得修正的模型 $M_x$ ；
预测 : 使用修正后的模型 $M_x$ 和 U 的值来计算 Y 的值，即反事实的结果。

可以将之前的三步法扩展到任何概率型的非线性系统。给定任何一个形式为 $E(Y_{X=x}|E=e)$ 的反事实，三步法过程如下 :

溯因 : 根据证据更新 $P(U)$ ，获得 $P(U|E=e)$ ；
作用 : 修改模型 M，移除 X 出现在左边的结构方程，用 $X=x$ 代替它们，从而获得修正的模型 $M_x$ ；
预测 : 使用修正后的模型 $M_x$ 和 $P(U|E=e)$ ，计算 Y 的期望，即反事实的结果。

5 结语

其实第四章后面还有一部分的内容，但是感觉都是案例驱动的，且涉及到的原则性的概念几乎没有，说明反事实的发展还处在较为初级的阶段。所以笔记这里就不做过多整理，整本书其实还是很偏向于案例驱动，可见现在的因果模型的普适性仍有较大提升空间。有时间我也会了解以下 Rubin 那一派的倾向得分并看看《因果论》(~~有时间永远是最鸽的修饰词2333~~)。

反事实 ——《统计因果推理入门》第四章学习笔记