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2 图模型及其应用

2.1 模型与数据的联系

我们可以仅仅根据图模型的结构就能预测数据中的独立性质，而不需要依赖方程式或误差分布所携带的任何定量信息。

2.2 链结构与分叉结构

例如考虑以下三个假设的 SCM，它们都共享相同的图形模型。第一个 SCM 表示某一高中的学费 (X)、SAT 平均分数 (Y) 和大学录取率 (Z) 之间的因果关系。第二个 SCM 表示电灯开关 (X) 状态、相关电路 (Y) 状态和灯泡 (Z) 状态之间的因果关系。第三个 SCM 涉及跑步比赛的参与者。它表示参与者每周工作的时间 (X)、参与者每周投入训练的时间 (Y) 和完成比赛的时间 (Z) 之间的因果关系。在所有三个模型中，外生变量 $(U_X,U_Y,U_Z)$ 代表任何可能改变内生变量之间关系的未知或随机影响。具体来说，在SCM 2.2.1 和 2.2.3 中， $U_Y$ 和 $U_Z$ 是解释个体差异的相加因素。在 SCM 2.2.2 中，如果存在未观察到的异常，则 $U_Y$ 和 $U_Z$ 取 1，如果没有异常则取 0。

图 2.1.以下三个 SCM 共享的图模型 : 链结构

SCM 2.2.1 (高中学费、SAT 平均分数和大学录取率)

V=\{X,Y,Z\},U=\{U_X,U_Y,U_Z\},F=\{f_1,f_2,f_3\}\\ f_X:X=U_X\\ f_Y:Y=\frac{x}{3}+U_Y\\ f_Z:Z=\frac{y}{16}+U_Z

SCM 2.2.2 (开关、电路状态和灯泡状态)

V=\{X,Y,Z\},U=\{U_X,U_Y,U_Z\},F=\{f_1,f_2,f_3\}\\ f_X:X=U_X\\ f_Y:Y=\begin{cases} \text{关}&\text{当}(X=\text{“打开”且}\ U_Y=0)\text{或}(X=\text{“合上”且}\ U_Y=1)\\ \text{开}&\text{否则} \end{cases}\\ f_Z:Z=\begin{cases} \text{亮}&\text{当}(Y=\text{“关”且}\ U_Z=0)\text{或}(Y=\text{“开”且}\ U_Z=1)\\ \text{灭}&\text{否则} \end{cases}

SCM 2.2.3 (工作时间、训练时间和比赛完成时间)

V=\{X,Y,Z\},U=\{U_X,U_Y,U_Z\},F=\{f_1,f_2,f_3\}\\ f_X:X=U_X\\ f_Y:Y=84-x+U_Y\\ f_Z:Z=\frac{100}{y}+U_Z

在以上3个 SCM 中，其共同的独立性与可能的依赖性如下 :

Z 和 Y 可能是相互依赖的 : 对于某些 z、y，有

P(Z=z|Y=y)\ne P(Z=z)

Y 和 X 可能是相互依赖的 : 对于某些 y、x，有

P(Y=y|X=x)\ne P(Y=y)

Z 和 X 可能是相互依赖的 : 对于某些 z、x，有

P(Z=z|X=x)\ne P(Z=z)

Z 和 X 在 Y 的条件下是独立的 : 对于所有的 x、y、z，有

P(Z=z|X=x,Y=y)=P(Z=z|Y=y)

可以推理得出，在一个经典的因果模型中，不管具体的函数是什么，由边相连的两个变量是依赖的，所以 Z 和 Y 可能是相互依赖的，Y 和 X 也可能是相互依赖的，这样的结构被称为链结构。根据以上的事实，有 : 如果 Z 依赖于 Y 的值，而 Y 依赖于 X 的值，那么 Z 很有可能依赖于 X 的值。然而以下情况给出特例，其图模型也与图 2.1 相同。

SCM 2.2.4 (非传递依赖的情况)

V=\{X,Y,Z\},U=\{U_X,U_Y,U_Z\},F=\{f_1,f_2,f_3\}\\ f_X:X=U_X\\ f_Y:Y=\begin{cases} a&\text{当}\ X=1\text{且}\ U_Y=1\\ b&\text{当}\ X=2\text{且}\ U_Y=1\\ c&\text{当}\ U_Y=2 \end{cases}\\ f_Z:Z=\begin{cases} i&\text{当}\ Y=c\text{或}\ U_Z=1\\ j&\text{当}\ U_Y=2 \end{cases}

在这个例子中，无论 $U_Y$ 和 $U_Z$ 取什么值，X 均对 Z 值没有任何影响。因此，X 和 Z 在这个模型中独立地变化，此类情况称为非传递情况。由此我们得到第一条规则。

规则 2.2.1 (链结构中的条件独立性) 如果变量 X 和 Y 之间只有一条单向路径，Z 是截断这条路径的任何一组变量，则在 Z 的条件下，X 和 Y 是独立的。

同时需要注意的是，只有当假设误差项 $U_X$ 、 $U_Y$ 和 $U_Z$ 相互独立时，规则 2.2.1 才成立。例如 $U_X$ 是 $U_Y$ 的原因，那么以 Z 为条件不一定会使 X 和 Y 相互独立，因为 X 的变化可能仍能通过他们的误差项与 Y 的变化产生关联。

现在来看如图 2.2 所示的图模型。例如，一个城市一天的温度(X)、当天当地冰淇淋店的销售额 (Y) 和当天该市暴力犯罪的数量 (Z) 之间的因果机制。这些变量之间可能的函数关系在 SCM 2.2.5 中给出。或者其可能代表如 SCM 2.2.6 的结构，连接开关 (X) 的状态 (开或关)，一个灯泡 (Y) 的状态 (亮或灭)，和第二个灯泡 (Z) 的状态 (亮或灭) 的因果机制。外生变量 $U_X$ 、 $U_Y$ 和 $U_Z$ 代表变量相互之间的关系的其他随机因素。

图 2.2.以下两个 SCM 共享的图模型 : 分叉模型

SCM 2.2.5 (温度、冰激凌销量和犯罪)

V=\{X,Y,Z\},U=\{U_X,U_Y,U_Z\},F=\{f_X,f_Y,f_Z\}\\ f_X:X=U_X\\ f_Y:Y=4x+U_Y\\ f_Z:Z=\frac{x}{10}+U_Z

SCM 2.2.6 (开关和两个灯泡的状态)

V=\{X,Y,Z\},U=\{U_X,U_Y,U_Z\},F=\{f_X,f_Y,f_Z\}\\ f_X:X=U_X\\ f_Y:Y=\begin{cases} \text{亮}&\text{当} (X=\text{“开”且}\ U_Y=0)\text{或} (X=\text{“关”且}\ U_Y=1)\\ \text{灭}&\text{否则} \end{cases}\\ f_Z:Z=\begin{cases} \text{亮}&\text{当} (X=\text{“开”且}\ U_Z=0)\text{或} (X=\text{“关”且}\ U_Z=1)\\ \text{灭}&\text{否则} \end{cases}

如果误差项 $U_X$ 、 $U_Y$ 和 $U_Z$ 相互独立时，可以确定 SCM 2.2.5 和 SCM 2.2.6 共享如下的依赖性和独立性。

X 和 Y 可能是相互依赖的 : 对于某些 x、y，有

P(X=x|Y=y)\ne P(X=x)

X 和 Z 可能是相互依赖的 : 对于某些 x、z，有

P(X=x|Z=z)\ne P(X=x)

Z 和 Y 可能是相互依赖的 : 对于某些 z、y，有

P(Z=z|Y=y)\ne P(Z=z)

Y 和 Z 在 X 的条件下是独立的 : 对于所有的 x、y、z，有

P(Y=y|Z=z,X=x)=P(Y=y|X=x)

前两点同样源自 Y 和 Z 都是由一个箭头直接连接，所以当 X 的值改变时，Y 和 Z 的值也会改变。然而，这进一步告诉我们 : 如果 Y 随 X 的变化而变化，Z 随 X 的变化而变化，那么 Y 很可能随 Z 一起变化，反之亦然。同时，这样的结构被我们称为分叉结构，对应可以推出另一条规则。

规则 2.2.2 (分叉结构的条件独立性) 如果变量 X 是变量 Y 和 Z 的共同原因，并且 Y 和 Z 之间只有一条路径，则 Y 和 Z 在 X 的条件下独立。

2.3 对撞结构

除了之前的两种结构，还有一种基本的结构，如图 2.3 所示，称作对撞结构。

图 2.3.对撞结构图模型

如果误差项 $U_X$ 、 $U_Y$ 和 $U_Z$ 相互独立时，则对于上述模型有以下的独立性。

X 和 Z 可能是相互依赖的 : 对于某些 x、z，有

P(X=x|Z=z)\ne P(X=x)

Y 和 Z 可能是相互依赖的 : 对于某些 y、z，有

P(Y=y|Z=z)\ne P(Y=y)

X 和 Y 是独立的 : 对于所有的 x、y，有

P(X=x|Y=y)=P(X=x)

X 和 Y 在 Z 的条件下可能是相互依赖的 : 对于某些 x、y、z，有

P(X=x|Y=y,Z=z)\ne P(X=x|Z=z)

前三点不多赘述，而最后一点则稍微令人费解，仔细想来，当以 Z 为条件时，我们将比较限定在 Z 取值相同的情况下，由于 Z 取值依赖于 X 和 Y，因此在对 Z 取相同值做比较时，X 值的任何变化必须通过 Y 值的变化来补偿，否则 Z 值也会改变。进而我们得到章节 2.2 的两条规则之外的另一条规则。

规则 2.3.1 (对撞结构中的条件独立性) 如果变量 Z 是变量 X 和 Y 之间的对撞节点，并且 X 与 Y 之间只有一条路径，那么 X 和 Y 是无条件独立的，但在 Z 或者 Z 的任何子孙条件下是相互依赖的。

2.4 d-分离

下面引入一个概念 : d-分离 (即他们之间不存在一条连通路径)，其与 d-连通概念 (即他们之间存在一条连通路径) 相对应。当任何一对节点是 d-分离的时候，指的是这两个变量绝对独立；当任何一对节点是 d-连通的时候，指的是这两个变量可能是相互依赖的。

定义 2.4.1 (d-分离) 一条路径会被一组节点 Z 阻断，当且仅当

路径 p 包含链结构 $A\rightarrow B\rightarrow C$ 或分叉结构 $A\leftarrow B\rightarrow C$ ，且中间节点 B 在 Z 中 (即以 B 为条件)；或者
路径 p 包含一个对状结构 $A\rightarrow B\leftarrow C$ ，且对撞节点 B 及其子孙均不在 Z 中

如果 Z 阻断了 X 和 Y 间的每一条路径，则 X 和 Y 在 Z 的条件下是 d-分离的。

2.5 模型检验与因果搜索

全局性的检验方法也是很常用的，但是相比而言 d-分离不需要依赖任何具体的变量间的函数，只需要使用图模型；其次能适时局部性的模型检验，以检查局部模型是否存在问题。

图模型 ——《统计因果推理入门》第二章学习笔记