分割等和子集

力扣：416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）
给你一个 只包含正整数 的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
提示：
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100
背包问题，⼤家都知道，有N件物品和⼀个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能⽤⼀次，求解将哪些物品装⼊背包⾥物品价值总和最⼤。背包问题有多种背包⽅式，常⻅的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。
要注意题⽬描述中商品是不是可以重复放⼊。即⼀个商品如果可以重复多次放⼊是完全背包，⽽只能放⼊⼀次是01背包，写法还是不⼀样的。要明确本题中我们要使⽤的是01背包，因为元素我们只能⽤⼀次。如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：
动态规划进阶02：01背包理论基础（滚动数组） - 掘金 (juejin.cn)
动态规划进阶01：01背包问题 - 掘金 (juejin.cn)
回归主题：⾸先，因为只要将数组分元素和相同的两个子集，所以本题就是要求集合⾥能否出现总和为 sum / 2 的⼦集，如果有一个子集的和为 sum / 2 ，那剩下的数组成另一个子集的和也一定为 sum / 2 。那么来⼀⼀对应⼀下本题，看看背包问题如果来解决。只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放⼊的商品（集合⾥的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的⼦集。
背包中每⼀个元素是不可重复放⼊。

以上分析完，我们就可以套⽤01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[i] 表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最⼤为dp[j]。
套到本题，dp[i]表示背包总容量是i，最⼤可以凑成i的⼦集总和为dp[i]

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包⾥放⼊数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3. dp数组如何初始化

在01背包，⼀维dp如何初始化，已经讲过，从dp[j]的定义来看，⾸先dp[0]⼀定是0。如果如果题⽬给的价值都是正整数那么⾮0下标都初始化为0就可以了，如果题⽬给的价值有负数，那么⾮0下标就要初始化为负⽆穷。这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最⼤的价值，⽽不是被初始值覆盖了。
本题题⽬中只包含正整数的⾮空数组，所以⾮0下标的元素初始化为0就可以了。Java代码如下：

        int l = nums.length;
        int sun = 0;
        for(int i = 0; i < l; i++)
            sun += nums[i];
        if(sun % 2 == 1)//如果sun为奇数那不可能分为两个相同的数。
            return false;
        sun /= 2;
        int[] dp = new int[sun + 1];//数组大小为背包最大容量

4. 确定遍历顺序

在动态规划进阶02：01背包理论基础（滚动数组） - 掘金 (juejin.cn)中就已经说明：如果使⽤⼀维dp数组，物在中就已经说明：如果使⽤⼀维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒叙遍历！
Java代码如下：

 for(int i = 0; i < l; i++){
            for(int j = sun; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] =Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);    
                //当dp[sun] = sun时就证明有子集的和为sun,那剩下的数组成另一个子集的和也一定为 sum。可以返回true提前结束程序。
                if(dp[sun] == sun)
                    return true;
            }   
        }

5. 举例推导dp数组

dp[i]的数值⼀定是⼩于等于i的。如果dp[i] == i 说明，集合中的⼦集总和正好可以凑成总和i，理解这⼀点很重要。⽤例1，输⼊[1,5,11,5] 为例，如图：

动规五部分分析完毕，对应Java代码如下：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int l = nums.length;
        int sun = 0;
        for(int i = 0; i < l; i++)
            sun += nums[i];
        if(sun % 2 == 1)
            return false;
        sun /= 2;
        int[] dp = new int[sun + 1];
        for(int i = 0; i < l; i++){
            for(int j = sun; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] =Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); 
                if(dp[sun] == sun)
                    return true;
            }   
        }  
        return false;
    }
}

动态规划进阶03： 分割等和子集